Goniometrické rovnice

Napätie v zásuvke je $u = 325 \cdot \sin(100\pi t)$ V. Kedy prvýkrát dosiahne polovicu maxima, 162,5 V? Treba vyriešiť rovnicu $\sin(100\pi t) = \frac12$ . Pri lineárnej rovnici máš jedno riešenie; tu sa uhol opakuje každú otáčku, takže riešení je nekonečne veľa — a ty sa naučíš zapísať všetky naraz.

Rovnica $\sin x = a$

Na jednotkovej kružnici hľadáš body s výškou (súradnicou $y$ ) rovnou $a$ . Nakresli vodorovnú priamku $y = a$ :

ak $|a| \gt 1$ , priamka kružnicu nepretne — rovnica nemá riešenie,
ak $|a| \lt 1$ , pretne ju v dvoch bodoch: $x_0$ a $\pi - x_0$ ,
ak $a = 1$ alebo $a = -1$ , dotkne sa v jednom bode.

Priamka $y = \frac12$ pretne jednotkovú kružnicu v bodoch pre uhly $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$ .

Vyrieš rovnicu $\sin x = \frac12$ .

Ostrý uhol so sínusom $\frac12$ : $x_0 = \frac{\pi}{6}$
Druhý bod je súmerný podľa osi $y$ : $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
Pripočítame celé otáčky ( $k \in \mathbb{Z}$ )

$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\$ alebo $\ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ , $\ k \in \mathbb{Z}$

Rovnice $\cos x = a$ a $\operatorname{tg} x = a$

Kosínus: hľadáš body so súradnicou $x$ rovnou $a$ — zvislá priamka. Body sú súmerné podľa osi $x$ , preto riešenia sú $x_0$ a $-x_0$ (čiže $2\pi - x_0$ ):

\cos x = -\tfrac12: \quad x = \tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \ \text{ alebo } \ x = \tfrac{4\pi}{3} + 2k\pi

Tangens: nadobúda každú reálnu hodnotu a má periódu $\pi$ , preto stačí jeden uhol a pripočítavať $k\pi$ :

\operatorname{tg} x = \sqrt3: \quad x = \tfrac{\pi}{3} + k\pi

Špeciálne prípady si pamätaj: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ , $\ \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , $\ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ .

Chýbajúce druhé riešenie. Kalkulačka na $\sin^{-1} 0{,}5$ vráti len 30°. Druhé riešenie v $\langle 0°;\ 360°)$ je $180° - 30° = 150°$ — nakresli si kružnicu a nájdeš ho vždy. A pri sínuse a kosínuse sa pripočítava $2k\pi$ , pri tangense $k\pi$ .

Rovnice s úpravou a substitúciou

a) $2\cos x + 1 = 0$ b) $\sin 2x = 0$ v intervale $\langle 0;\ 2\pi)$

a) Osamostatni funkciu: $\cos x = -\frac12$ , teda $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ alebo $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ .

b) Najprv rieš pre celý argument $2x$ : $2x = k\pi$ , teda $x = \frac{k\pi}{2}$ . V intervale $\langle 0;\ 2\pi)$ sú to $k = 0, 1, 2, 3$ : $x \in \lbrace 0;\ \frac{\pi}{2};\ \pi;\ \frac{3\pi}{2} \rbrace$ — štyri riešenia, nie dve.

Vyrieš $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ .

Substitúcia $t = \sin x$ : $2t^2 - t - 1 = 0$
$D = 1 + 8 = 9$ , $t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$ , teda $t_1 = 1$ , $t_2 = -\frac12$ (obe ležia v $\langle -1;\ 1\rangle$ )
$\sin x = 1$ : $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\sin x = -\frac12$ : $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ alebo $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$

$x \in \lbrace \frac{\pi}{2} + 2k\pi;\ \frac{7\pi}{6} + 2k\pi;\ \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \rbrace$ , $k \in \mathbb{Z}$

Keby po substitúcii vyšlo $t = 2$ , takú hodnotu sínus nikdy nemá — ten koreň jednoducho zahodíš.

Kalkulačka a zásuvka

Kedy prvýkrát dosiahne napätie $u = 325 \cdot \sin(100\pi t)$ V hodnotu 162,5 V?

$\sin(100\pi t) = \frac{162{,}5}{325} = \frac12$
Najmenší kladný uhol je $100\pi t = \frac{\pi}{6}$
$t = \dfrac{1}{600}\,\mathrm{s} \approx 0{,}00167\,\mathrm{s}$

Prvýkrát po približne 1,67 ms.

Pri neokrúhlych hodnotách pomôže kalkulačka: $\sin x = 0{,}3$ dá $x_0 = \sin^{-1} 0{,}3 \approx 17{,}5°$ a druhé riešenie $180° - 17{,}5° = 162{,}5°$ (v režime DEG, pri presnejšom výpočte $162{,}54°$ ).

Hra: priraď rovnicu k jej riešeniam v intervale $\langle 0;\ 2\pi)$ .

Hra: chyť správne riešenie.

Vyrieš: a) $\cos x = \frac{\sqrt2}{2}$ , b) $\operatorname{tg} x = -\sqrt3$ , c) $2\sin x - \sqrt3 = 0$ v intervale $\langle 0;\ 2\pi)$ , d) $\cos^2 x = \frac14$ v intervale $\langle 0;\ 2\pi)$ .

Ukáž riešenie

a) $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ alebo $x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$ .

b) $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$ , čiže aj $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$ .

c) $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ , teda $x \in \lbrace \frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3} \rbrace$ .

d) $\cos x = \frac12$ alebo $\cos x = -\frac12$ , teda $x \in \lbrace \frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3} \rbrace$ — pri odmocnení nezabudni na $\pm$ .

Zapamätaj si

$\sin x = a$ ( $|a| \lt 1$ ): $x = x_0 + 2k\pi$ alebo $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ ; pre $|a| \gt 1$ nemá riešenie.
$\cos x = a$ ( $|a| \lt 1$ ): $x = \pm x_0 + 2k\pi$ .
$\operatorname{tg} x = a$ : $x = x_0 + k\pi$ pre každé reálne $a$ .
Pri $\sin(bx) = a$ najprv rieš pre celý argument $bx$ , až potom deľ $b$ .
Kalkulačka dá len jedno riešenie; ostatné nájdeš na jednotkovej kružnici.