Sínus a kosínus ľubovoľného uhla

Kabínka ruského kolesa sa točí dokola a jej výška nad zemou závisí od uhla otočenia. Lenže uhol 210° v pravouhlom trojuholníku nenájdeš — ten pozná len ostré uhly. Jednotková kružnica rozšíri sínus a kosínus na akýkoľvek uhol, aj záporný či väčší ako 360°.

Definícia na jednotkovej kružnici

Na jednotkovej kružnici urob orientovaný uhol $x$ . Jeho koncové rameno pretne kružnicu v bode $P$ . Potom

P = [\cos x;\ \sin x]

Kosínus je súradnica $x$ bodu $P$ , sínus je súradnica $y$ . Pre ostrý uhol je to presne to, čo poznáš: prepona má dĺžku 1, takže protiľahlá odvesna je $\sin x$ a priľahlá $\cos x$ .

Bod $P$ pre uhol 150°: $\cos 150° \approx -0{,}87$ (doľava), $\sin 150° = 0{,}5$ (nahor). V zátvorkách sú znamienka $(\cos;\ \sin)$ v kvadrantoch I až IV.

Bod $P$ leží na kružnici s polomerom 1, preto pre každý uhol platí $-1 \le \sin x \le 1$ a $-1 \le \cos x \le 1$ .

Znamienka a dôležité hodnoty

kvadrant	I	II	III	IV
uhol	$(0;\ \frac{\pi}{2})$	$(\frac{\pi}{2};\ \pi)$	$(\pi;\ \frac{3\pi}{2})$	$(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi)$
$\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$

Na osiach netreba nič počítať, stačí sa pozrieť, kde bod $P$ leží:

$x$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Po celej otáčke sa bod $P$ vráti na to isté miesto: $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ a $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ . Sínus a kosínus sú periodické s periódou $2\pi$ . Preto $\sin 390° = \sin 30° = \frac12$ .

Vyskúšaj si to v simulácii. Je to kalkulačka na rozklad sily, ktorá kružnicu nekreslí, no keď nastavíš $F = 1$ (jednotku N ignoruj), šípka je polomer jednotkovej kružnice a jej koniec je bod $P$ . Uhol $\alpha$ píš v stupňoch. Tyrkysová zložka $F_x$ je $\cos\alpha$ (vodorovná), zelená $F_y$ je $\sin\alpha$ (zvislá); šípka na obrázku vyzerá rovnako veľká pre každé $F$ , lebo sa mierka sama prispôsobí. Skús uhly 150°, 210°, 300° a −60° a porovnaj znamienka s tabuľkou kvadrantov.

Prevod do prvého kvadrantu

Body pre uhly $x$ , $\pi - x$ , $\pi + x$ a $2\pi - x$ sú súmerne rozložené podľa osí. Majú rovnaké „veľkosti“ súradníc, líšia sa len znamienkom:

	$\pi - x$ (II)	$\pi + x$ (III)	$2\pi - x$ (IV)
$\sin$	$\sin x$	$-\sin x$	$-\sin x$
$\cos$	$-\cos x$	$-\cos x$	$\cos x$

Vypočítaj $\sin 150°$ , $\cos 240°$ a $\sin 300°$ .

$150° = 180° - 30°$ (II. kvadrant, sínus kladný): $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$
$240° = 180° + 60°$ (III. kvadrant, kosínus záporný): $\cos 240° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$
$300° = 360° - 60°$ (IV. kvadrant, sínus záporný): $\sin 300° = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 150° = \frac12$ , $\ \cos 240° = -\frac12$ , $\ \sin 300° = -\frac{\sqrt3}{2} \approx -0{,}866$

Pre záporný uhol je bod $P$ zrkadlovo pod osou $x$ : $\cos(-x) = \cos x$ (kosínus je párny) a $\sin(-x) = -\sin x$ (sínus je nepárny).

Znamienko podľa kvadrantu, nie podľa vzorca naspamäť. Častá chyba: $\cos 150° = \cos 30°$ . Bod pre 150° je však vľavo od osi $y$ , takže kosínus je záporný: $\cos 150° = -\frac{\sqrt3}{2}$ . Vždy si najprv nakresli, v ktorom kvadrante uhol leží.

Ruské koleso a ventil na kolese

Ruské koleso má polomer 20 m a jeho os je vo výške 22 m. Kabínka štartuje vo výške osi na pravej strane a koleso sa otočí o 210° proti smeru hodinových ručičiek. V akej výške je kabínka?

Výška nad osou je súradnica $y$ bodu na kružnici s polomerom 20 m: $20 \cdot \sin 210°$ .
$\sin 210° = \sin(180° + 30°) = -\sin 30° = -\frac12$
$h = 22 + 20 \cdot \left(-\frac12\right) = 22 - 10 = 12\,\mathrm{m}$

Kabínka je vo výške 12 m.

Ventil kolesa e-kolobežky ( $r = 12{,}5\,\mathrm{cm}$ ) je na začiatku v úrovni osi kolesa. Výška ventilu nad osou je $12{,}5 \cdot \sin x$ (v cm), kde $x$ je orientovaný uhol otočenia. a) Aká je pre $x = \frac{3\pi}{2}$ ? b) Aká je pre $x = \frac{5\pi}{6}$ ? c) Vypočítaj $\cos 135°$ a $\sin(-45°)$ .

Ukáž riešenie

a) $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ , výška je $-12{,}5\,\mathrm{cm}$ — ventil je úplne dole, 12,5 cm pod osou (pri zemi).

b) $\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac12$ , výška je 6,25 cm nad osou.

c) $\cos 135° = -\cos 45° = -\frac{\sqrt2}{2} \approx -0{,}707$ ; $\ \sin(-45°) = -\sin 45° = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

Hra: roztrieď hodnoty podľa znamienka.

Zapamätaj si

Bod jednotkovej kružnice pre uhol $x$ je $P = [\cos x;\ \sin x]$ .
Sínus je kladný v I. a II. kvadrante, kosínus v I. a IV. kvadrante.
$-1 \le \sin x \le 1$ , $-1 \le \cos x \le 1$ a obe funkcie majú periódu $2\pi$ .
Uhol v II. až IV. kvadrante prevedieš na ostrý: $\pi - x$ , $\pi + x$ , $2\pi - x$ a znamienko podľa kvadrantu.
$\cos(-x) = \cos x$ , $\sin(-x) = -\sin x$ .