Oblúková miera a jednotková kružnica

Koleso e-kolobežky má polomer 12,5 cm. Keď sa pootočí o kúsok, koľko centimetrov prešla kolobežka? So stupňami to ide cez zlomok $\frac{\alpha}{360°}$ , s radiánmi stačí jedno násobenie. Navyše vo fyzike a v elektrotechnike (uhlová rýchlosť, striedavý prúd $\omega = 100\pi\,\mathrm{rad/s}$ ) sa uhly počítajú len v radiánoch.

Čo je radián

Radián (rad) je stredový uhol, ktorému na kružnici prislúcha oblúk rovnako dlhý ako polomer.

Oblúk dĺžky $r$ patrí uhlu 1 rad. Je to o niečo menej ako 60°.

Celá kružnica má dĺžku $2\pi r$ , zmestí sa na ňu teda $2\pi$ polomerov. Preto

360° = 2\pi\ \mathrm{rad},

180° = \pi\ \mathrm{rad},

1\ \mathrm{rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°

Veľkosť uhla v radiánoch je pomer dvoch dĺžok, $x = \frac{l}{r}$ , preto sa jednotka „rad“ často ani nepíše: $x = \frac{\pi}{2}$ znamená $\frac{\pi}{2}$ radiánu.

Prevod stupne ↔ radiány

x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180°}

\alpha = x \cdot \frac{180°}{\pi}

stupne	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
radiány	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Preveď 135° na radiány a 2 rad na stupne.

$135° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ (zlomok krátime 45)
$2 \cdot \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{360°}{\pi} \approx 114{,}6°$

$135° = \frac{3\pi}{4}$ , $\ 2\ \mathrm{rad} \approx 114{,}6°$

Kalkulačka v zlom režime. Kalkulačka má režim DEG (stupne) a RAD (radiány). V režime RAD vráti $\sin 30$ hodnotu približne $-0{,}988$ , lebo počíta sínus 30 radiánov. Pred každým výpočtom skontroluj, či máš na displeji DEG alebo RAD.

Dĺžka oblúka

Z definície radiánu priamo vyplýva: oblúk prislúchajúci uhlu $x$ (v radiánoch) má dĺžku

l = r \cdot x

To je ten istý vzorec ako $l = \frac{\pi r \alpha}{180°}$ z prvého ročníka, len bez prevodu.

Koleso e-kolobežky s polomerom $r = 12{,}5\,\mathrm{cm}$ sa otočí o 10 rad. Akú dráhu prešla kolobežka?

$l = r \cdot x = 12{,}5\,\mathrm{cm} \cdot 10 = 125\,\mathrm{cm}$
Pre porovnanie: jedna celá otáčka je $2\pi$ rad a dráha $2\pi \cdot 12{,}5\,\mathrm{cm} \approx 78{,}5\,\mathrm{cm}$ .

Kolobežka prešla $1{,}25\,\mathrm{m}$ .

Druhý príklad: ventilátor v počítači sa za sekundu otočí 30-krát, to je $30 \cdot 2\pi = 60\pi\ \mathrm{rad}$ za sekundu. Presne takto sa vo fyzike zapisuje uhlová rýchlosť.

Orientovaný uhol a jednotková kružnica

Jednotková kružnica má stred v začiatku súradnicovej sústavy a polomer 1. Orientovaný uhol má začiatočné rameno na kladnej polosi $x$ a otáča sa:

proti smeru hodinových ručičiek → kladný uhol,
v smere hodinových ručičiek → záporný uhol.

Uhol môže byť aj väčší ako $2\pi$ (viac otáčok). Uhly $x$ a $x + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , majú rovnaké koncové rameno. Ten jediný z nich, ktorý leží v intervale $\langle 0;\ 2\pi)$ , je základná veľkosť uhla.

Urči základnú veľkosť uhlov 750°, −90° a $\frac{17\pi}{6}$ .

$750° = 30° + 2 \cdot 360°$ , základná veľkosť je 30°.
$-90° + 360° =$ 270°.
$\dfrac{17\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi$ , základná veľkosť je $\frac{5\pi}{6}$ .

Hodinky ako orientovaný uhol. Ručičky sa točia v smere hodinových ručičiek, teda záporne. Minútová ručička sa za 20 minút otočí o tretinu kruhu, čo je orientovaný uhol $-\frac{2\pi}{3}$ , teda $-120°$ .

Hra: priraď uhol v stupňoch k tomu istému uhlu v radiánoch.

Hra: chyť základnú veľkosť uhla.

a) Preveď 225° na radiány. b) Preveď $\frac{7\pi}{4}$ na stupne. c) Kabínka ruského kolesa s polomerom 20 m sa otočí o $\frac{\pi}{4}$ . Akú dráhu prejde? d) Urči základnú veľkosť uhla −1000°.

Ukáž riešenie

a) $225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$ .

b) $\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180°}{\pi} = 315°$ .

c) $l = 20\,\mathrm{m} \cdot \frac{\pi}{4} = 5\pi\,\mathrm{m} \approx$ $15{,}7\,\mathrm{m}$ .

d) $-1000° + 3 \cdot 360° = 80°$ , základná veľkosť je 80°.

Zapamätaj si

1 radián je stredový uhol, ktorému patrí oblúk dĺžky polomeru; $1\ \mathrm{rad} \approx 57{,}3°$ .
$180° = \pi$ rad: $x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180°}$ a $\alpha = x \cdot \frac{180°}{\pi}$ .
Dĺžka oblúka je $l = r \cdot x$ , ak je $x$ v radiánoch.
Orientovaný uhol proti smeru hodinových ručičiek je kladný, v smere záporný.
Uhly $x + 2k\pi$ majú rovnaké koncové rameno; základná veľkosť leží v $\langle 0;\ 2\pi)$ .

Oblúková miera a jednotková kružnica

Čo je radián

Prevod stupne ↔ radiány

Dĺžka oblúka

Orientovaný uhol a jednotková kružnica

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí