Polohové vzťahy priamok a rovín

Nadjazd na diaľnici a cesta pod ním sa nikdy nestretnú, a predsa nie sú rovnobežné. V rovine by to nešlo — v priestore áno. Stereometria je geometria priestoru a začína otázkou: ako môžu ležať dve priamky, priamka a rovina, dve roviny? Celý čas ti bude pomáhať kocka — je v nej všetko.

Kocka ako laboratórium

Kocku označujeme $ABCDEFGH$: dolná podstava $ABCD$, horná $EFGH$, pričom $E$ je nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$ a $H$ nad $D$. Hrany, ktoré nevidno, kreslíme prerušovane.

Rovinu určujú tri body, ktoré neležia na jednej priamke (alebo priamka a bod mimo nej, alebo dve rôznobežky, alebo dve rôzne rovnobežky). Preto štvornohá stolička na nerovnej dlažbe kýve a trojnohý statív nie: tri body roviny vždy „trafia“.

Dve priamky v priestore

Mimobežky v rovine neexistujú — je to čisto priestorová poloha. Z bežného života: električkové vedenie nad ulicou a priechod pre chodcov naprieč ulicou pod ním, zvislý kábel na jednej stene a vodorovný kábel na susednej stene, ktorý ho mine, nadjazd a cesta pod ním.

Priamka a rovina

• Priamka leží v rovine — všetky jej body sú v rovine: $AB$ leží v rovine $ABC$.
• Priamka je s rovinou rovnobežná — nemá s ňou spoločný bod: $EF$ a rovina $ABC$ (podlaha a hrana stropu).
• Priamka rovinu pretína — práve jeden spoločný bod, priesečník: priamka $AG$ pretína rovinu $ABC$ v bode $A$.

Užitočné kritérium: priamka je rovnobežná s rovinou, ak je rovnobežná s niektorou priamkou tej roviny. Napríklad $EG \parallel AC$ a $AC$ leží v rovine $ABC$, preto $EG \parallel ABC$.

Kolmosť: priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na dve rôznobežné priamky tej roviny. Hrana $AE$ je kolmá na $AB$ aj na $AD$, preto je kolmá na celú podlahu $ABCD$ — tak murár kontroluje zvislý stĺpik vodováhou z dvoch strán.

Dve roviny

• Rovnobežné — nemajú spoločný bod (podlaha a strop): $ABC \parallel EFG$.
• Totožné — splývajú.
• Rôznobežné — pretínajú sa v priamke, ktorej hovoríme priesečnica. Rovina podlahy $ABC$ a rovina pravej steny $BCG$ majú spoločné body $B$ aj $C$, preto ich priesečnica je priamka $BC$ — rovnako ako stena a podlaha sa stretajú v lište.

Hra: roztrieď dvojice hrán kocky $ABCDEFGH$ podľa vzájomnej polohy.

Hra: priraď situáciu k vzájomnej polohe.

Zapamätaj si

• Dve priamky v priestore sú rovnobežné, rôznobežné alebo mimobežné (neležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod).
• Rovnobežky musia ležať v jednej rovine — „žiadny spoločný bod“ ešte neznamená rovnobežnosť.
• Priamka buď leží v rovine, je s ňou rovnobežná, alebo ju pretína v priesečníku.
• Dve rôznobežné roviny sa pretínajú v priamke — priesečnici.
• Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na dve rôznobežné priamky tej roviny.