Vzdialenosti a odchýlky v kocke a kvádri

Sťahuješ sa a garnižová tyč dlhá 75 cm sa musí zmestiť do krabice 60 cm × 40 cm × 30 cm. Po dne nie, šikmo cez celú krabicu možno áno. Celá lekcia stojí na jednom triku: v priestore nájdi pravouhlý trojuholník a použi Pytagorovu vetu alebo goniometriu.

Stenová a telesová uhlopriečka

Kváder má hrany $a$ , $b$ , $c$ . Uhlopriečka podstavy (stenová) je prepona trojuholníka s odvesnami $a$ , $b$ . Telesová uhlopriečka $AG$ je prepona trojuholníka $ACG$ — jeho odvesny sú stenová uhlopriečka $AC$ a zvislá hrana $CG$ , ktorá je kolmá na celú podlahu:

u_s = \sqrt{a^2 + b^2}

u_t = \sqrt{u_s^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Pre kocku s hranou $a$ : $u_s = a\sqrt{2}$ , $u_t = a\sqrt{3}$ .

Kváder $ABCDEFGH$ : stenová uhlopriečka $AC$ , telesová uhlopriečka $AG$ a pravouhlý trojuholník $ACG$ .

Zmestí sa tyč 75 cm do krabice 60 cm × 40 cm × 30 cm?

Po dne: $u_s = \sqrt{60^2 + 40^2} = \sqrt{5\,200} \doteq 72{,}11\,\mathrm{cm}$ — nezmestí sa.
Šikmo cez krabicu: $u_t = \sqrt{60^2 + 40^2 + 30^2} = \sqrt{6\,100} \doteq 78{,}10\,\mathrm{cm}$ .

Tyč 75 cm sa zmestí — ale len šikmo, z rohu dna do protiľahlého horného rohu.

Vzdialenosti

Vzdialenosť je vždy najkratšia spojnica — a tá je kolmá:

bod od priamky: dĺžka kolmice z bodu na priamku (k päte kolmice),
bod od roviny: dĺžka kolmice na rovinu; bod $G$ je od podlahy $ABC$ vzdialený $a$ ,
dve rovnobežky: vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej od druhej; $AB$ a $GH$ sú od seba $a\sqrt{2}$ (ležia v obdĺžniku $ABGH$ ),
dve mimobežky: dĺžka ich spoločnej kolmice; $AB$ a $CG$ majú spoločnú kolmicu $BC$ , takže sú od seba vzdialené $a$ .

Kocka má hranu 6 cm. Aká je vzdialenosť bodu $E$ od priamky $BC$ ?

$BC$ je kolmá na $AB$ aj na $BF$ , teda na celú prednú stenu $ABFE$ — a tým aj na úsečku $EB$ .
Kolmica z bodu $E$ na priamku $BC$ je preto $EB$ , uhlopriečka steny.
$|EB| = 6\sqrt{2} \doteq 8{,}49\,\mathrm{cm}$ .

Vzdialenosť je $6\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \doteq 8{,}49\,\mathrm{cm}$ .

Odchýlka dvoch priamok

Odchýlka rôznobežiek je menší z uhlov, ktoré zvierajú — vždy od $0°$ do $90°$ . Rovnobežky majú odchýlku $0°$ . Pri mimobežkách jednu z nich posuň rovnobežne tak, aby druhú pretínala, a zmeraj uhol.

$AB$ a $CG$ : posuň $AB$ do $DC$ ; uhol $DCG$ je pravý, odchýlka je $90°$ — mimobežky môžu byť na seba kolmé.
$AB$ a $CH$ : opäť $AB \parallel DC$ ; v štvorci $CDHG$ zviera stenová uhlopriečka $CH$ s hranou $DC$ uhol $45°$ .

Odchýlka $AF$ a $AH$ nie je $90°$ . Na obrázku to tak môže vyzerať, ale $AF$ , $AH$ aj $FH$ sú uhlopriečky stien, všetky dĺžky $a\sqrt{2}$ . Trojuholník $AFH$ je rovnostranný, takže odchýlka je $60°$ . V priestore nikdy nemeraj uhol „okom“ z nákresu.

Odchýlka priamky od roviny

Je to uhol medzi priamkou a jej pravouhlým priemetom do roviny (tieňom pri svetle presne zhora). Priamka kolmá na rovinu má odchýlku $90°$ , rovnobežná $0°$ .

Telesová uhlopriečka $AG$ má priemet do podlahy $AC$ . V pravouhlom trojuholníku $ACG$ :

\operatorname{tg}\varphi = \frac{|CG|}{|AC|}

Pre kocku $\operatorname{tg}\varphi = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , teda $\varphi \doteq 35{,}26°$ — pre každú kocku rovnako, od kocky cukru po veľkú kartónovú kocku.

Vyskúšaj trojuholník $ACG$ v kvádri $3 \times 4 \times 12$ cm: stenová uhlopriečka je $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , výška $c = 12$ . V kalkulačke je to strana $a = 12$ (oproti uhlu $\alpha = \varphi$ ) a $b = 5$ :

Prepona vyjde $u_t = 13\,\mathrm{cm}$ a odchýlka uhlopriečky od podstavy $\varphi \doteq 67{,}38°$ .

Laserový diaľkomer v izbe 5 m × 4 m × 2,5 m nameria z rohu pri podlahe do protiľahlého rohu pri strope $\sqrt{5^2 + 4^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{47{,}25} \doteq 6{,}87\,\mathrm{m}$ — najdlhšiu vzdialenosť v izbe.

Teraz ty: chyť správnu telesovú uhlopriečku.

a) Kocka má hranu 20 cm. Aká dlhá je jej telesová uhlopriečka? b) Kváder má podstavu 8 cm × 6 cm a výšku 24 cm. Vypočítaj stenovú uhlopriečku podstavy, telesovú uhlopriečku a odchýlku telesovej uhlopriečky od podstavy.

Ukáž riešenie

a) $u_t = 20\sqrt{3} \doteq 34{,}64\,\mathrm{cm}$ .

b) $u_s = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\,\mathrm{cm}$ , $u_t = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26\,\mathrm{cm}$ , $\operatorname{tg}\varphi = \frac{24}{10}$ , teda $\varphi \doteq 67{,}38°$ .

Zapamätaj si

Stenová uhlopriečka $u_s = \sqrt{a^2 + b^2}$ , telesová $u_t = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ; v kocke $a\sqrt{2}$ a $a\sqrt{3}$ .
Vzdialenosť = dĺžka kolmice (bod–priamka, bod–rovina, spoločná kolmica mimobežiek).
Odchýlka priamok je od $0°$ do $90°$ ; pri mimobežkách jednu posuň rovnobežne.
Odchýlka priamky od roviny = uhol s jej pravouhlým priemetom; v kocke má telesová uhlopriečka od podstavy $\varphi \doteq 35{,}26°$ .
Vždy hľadaj pravouhlý trojuholník — uhol nikdy neodhaduj z nákresu.

Vzdialenosti a odchýlky v kocke a kvádri

Stenová a telesová uhlopriečka

Vzdialenosti

Odchýlka dvoch priamok

Odchýlka priamky od roviny

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí