Hranol a ihlan: povrch a objem

Na záhrade staviate altánok so strechou v tvare ihlana a potrebuješ vedieť, koľko m² krytiny kúpiť. Na brigáde v stavebninách ti zas zákazník povie rozmery akvária a pýta sa, koľko litrov doň vojde. Oboje sú vzorce, ktoré už poznáš zo ZŠ — teraz ich doplníme o ihlan a o dopočítanie výšok Pytagorovou vetou.

Hranol

Hranol má dve zhodné rovnobežné podstavy a plášť z rovnobežníkov (v kolmom hranole z obdĺžnikov). $S_p$ je obsah podstavy, $o$ obvod podstavy, $v$ výška:

V = S_p \cdot v

S = 2S_p + S_{pl}, \quad S_{pl} = o \cdot v \ \text{(kolmý hranol)}

Akvárium 60 cm × 30 cm × 40 cm (bez veka). Koľko litrov vody pojme a koľko skla treba?

$V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000\,\mathrm{cm^3} = 72\,\mathrm{dm^3} = 72\,\mathrm{l}$ .
Sklo: dno $60 \cdot 30 = 1\,800\,\mathrm{cm^2}$ , predná a zadná stena $2 \cdot 60 \cdot 40 = 4\,800\,\mathrm{cm^2}$ , bočné $2 \cdot 30 \cdot 40 = 2\,400\,\mathrm{cm^2}$ .
Spolu $1\,800 + 4\,800 + 2\,400 = 9\,000\,\mathrm{cm^2}$ .

Akvárium pojme 72 l a treba 0,9 m² skla.

Druhý príklad: stan v tvare trojbokého hranola — štít je rovnoramenný trojuholník so základňou 2 m a výškou 1,5 m, stan je dlhý 2,2 m. Objem $V = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}2 = 3{,}3\,\mathrm{m^3}$ .

Ihlan

Ihlan má jednu podstavu a vrchol $V$ ; plášť tvoria trojuholníky. Ihlan zaberá presne tretinu hranola s rovnakou podstavou a výškou:

V = \frac{1}{3}\, S_p \cdot v

S = S_p + S_{pl}

Pravidelný ihlan má podstavu pravidelný mnohouholník a vrchol presne nad jej stredom — všetky bočné steny sú zhodné rovnoramenné trojuholníky.

Pravidelný štvorboký ihlan: výška $v$ , výška bočnej steny $v_a$ a polovica hrany podstavy tvoria pravouhlý trojuholník.

Výška ihlana a výška steny

Na plášť potrebuješ výšku bočnej steny $v_a$ , nie výšku ihlana $v$ . V pravidelnom štvorbokom ihlane:

v_a = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}

h = \sqrt{v^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}

kde $h$ je bočná hrana (od vrcholu podstavy k vrcholu $V$ , cez polovicu uhlopriečky podstavy).

Strecha altánku: pravidelný štvorboký ihlan, hrana podstavy 4 m, výška 1,5 m.

$v_a = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\mathrm{m}$ .
Plášť = 4 trojuholníky: $S_{pl} = 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2{,}5 = 20\,\mathrm{m^2}$ (podstava strechu nekryje).
Objem podkrovia: $V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 1{,}5 = 8\,\mathrm{m^3}$ .
Bočná hrana (dĺžka nárožných trámov): $h = \sqrt{1{,}5^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{10{,}25} \doteq 3{,}20\,\mathrm{m}$ .

Krytina na 20 m² (plus prekrytie), podkrovie má 8 m³.

Dve typické chyby pri ihlane: zabudnutá tretina ( $V = S_p \cdot v$ je objem hranola, nie ihlana) a zámena výšok — do obsahu bočnej steny patrí $v_a$ , do objemu výška ihlana $v$ . Pri streche vyššie by zámena dala plášť $4 \cdot \tfrac12 \cdot 4 \cdot 1{,}5 = 12\,\mathrm{m^2}$ namiesto $20\,\mathrm{m^2}$ — chýbala by ti krytina na 8 m².

Hra: priraď teleso k vzorcu.

Teraz ty: chyť správny výsledok.

a) Šesťboká ceruzka je pravidelný šesťboký hranol s hranou podstavy 4 mm a dĺžkou 175 mm. Aký má objem? (Pravidelný šesťuholník sa skladá zo 6 rovnostranných trojuholníkov: $S_p = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .) b) Kamenný pravidelný štvorboký ihlan na záhrade má hranu podstavy 30 cm a výšku 40 cm. Aký má objem v dm³?

Ukáž riešenie

a) $S_p = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 \doteq 41{,}57\,\mathrm{mm^2}$ , $V = 41{,}57 \cdot 175 \doteq 7\,275\,\mathrm{mm^3} \doteq 7{,}27\,\mathrm{cm^3}$ (spolu s tuhou).

b) $V = \tfrac{1}{3} \cdot 30^2 \cdot 40 = 12\,000\,\mathrm{cm^3} =$ $12\,\mathrm{dm^3}$ .

Zapamätaj si

Hranol: $V = S_p \cdot v$ , $S = 2S_p + S_{pl}$ ; plášť kolmého hranola $S_{pl} = o \cdot v$ .
Ihlan: $V = \frac{1}{3} S_p \cdot v$ , $S = S_p + S_{pl}$ — len jedna podstava a tretina v objeme.
Výška steny pravidelného štvorbokého ihlana: $v_a = \sqrt{v^2 + (a/2)^2}$ .
Do plášťa patrí výška steny $v_a$ , do objemu výška telesa $v$ .
$1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l} = 1\,000\,\mathrm{cm^3}$ .