Sieť a povrch hranola

Kamarátovi bališ k narodeninám darček v krabici 30 cm × 20 cm × 10 cm. Koľko papiera potrebuješ aspoň? Odpoveď je povrch krabice — súčet obsahov všetkých jej stien. Najľahšie ho spočítaš, keď krabicu „rozstriháš“ a rozložíš na stôl.

Sieť hranola

Keď hranol rozstriháš po niektorých hranách a rozložíš do roviny, dostaneš jeho sieť. Sieť každého hranola má:

dve podstavy (zhodné mnohouholníky),
plášť — bočné steny vedľa seba. Pri kolmom hranole je to jeden veľký obdĺžnik: jedna jeho strana je obvod podstavy $o$ , druhá výška hranola $v$ .

Sieť krabičky trojuholníkovej čokolády. Plášť je obdĺžnik 20 cm × 16 cm, lebo obvod podstavy je 5 + 6 + 5 = 16 cm. Čiarkovane sú prehyby.

Povrch = dve podstavy + plášť

Označme $S_p$ obsah podstavy, $o$ obvod podstavy, $v$ výšku hranola. Potom

S_{pl} = o \cdot v

S = 2 \cdot S_p + S_{pl}

Krabička čokolády zo siete: podstava je trojuholník so stranami 5 cm, 5 cm, 6 cm a výškou na stranu 6 cm rovnou 4 cm; dĺžka (výška hranola) je 20 cm.

Podstava: $S_p = \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12\,\mathrm{cm^2}$
Plášť: $o = 5 + 5 + 6 = 16\,\mathrm{cm}$ , $S_{pl} = 16 \cdot 20 = 320\,\mathrm{cm^2}$
Povrch: $S = 2 \cdot 12 + 320 =$ 344 cm²

Dve časté chyby: zabudneš na druhú podstavu (vyšlo by 332 cm²) alebo pomýliš výšku trojuholníka (4 cm) s výškou hranola (20 cm).

Kváder a kocka

Kváder s hranami $a$ , $b$ , $c$ má tri dvojice zhodných stien, kocka šesť zhodných štvorcov:

S_{\text{kváder}} = 2(ab + ac + bc)

S_{\text{kocka}} = 6a^2

Darček: krabica 30 cm × 20 cm × 10 cm.

$S = 2 \cdot (30 \cdot 20 + 30 \cdot 10 + 20 \cdot 10) = 2 \cdot (600 + 300 + 200) =$ 2 200 cm²

Toľko papiera treba aspoň — v skutočnosti pridaj na prekrytie okrajov.

Krabica od topánok má rozmery 33 cm × 20 cm × 12 cm. Koľko kartónu má jej povrch (aj s vekom)?

Ukáž riešenie

$S = 2 \cdot (33 \cdot 20 + 33 \cdot 12 + 20 \cdot 12) = 2 \cdot (660 + 396 + 240) = 2 \cdot 1\,296 =$ 2 592 cm²

Stan na víkend

Stan „áčko“ je trojboký hranol ležiaci na boku. Čelo je rovnoramenný trojuholník: šírka 1,5 m, výška 1 m, šikmé strany 1,25 m. Stan je dlhý 2 m. Koľko látky treba na celý stan aj s podlahou?

Dve čelá: $2 \cdot S_p = 2 \cdot \dfrac{1{,}5 \cdot 1}{2} = 1{,}5\,\mathrm{m^2}$
Plášť (strecha + podlaha): $o = 1{,}25 + 1{,}25 + 1{,}5 = 4\,\mathrm{m}$ , $S_{pl} = 4 \cdot 2 = 8\,\mathrm{m^2}$
S = 1,5 + 8 = 9,5 m²

Rozcvička na podstavy — obsahy a obvody obdĺžnikov a trojuholníkov:

Zapamätaj si

Sieť hranola tvoria dve podstavy a plášť; plášť kolmého hranola je obdĺžnik $o \times v$ .
Obsah plášťa: $S_{pl} = o \cdot v$ (obvod podstavy krát výška hranola).
Povrch hranola: $S = 2 \cdot S_p + S_{pl}$ — nezabudni na obe podstavy.
Kváder: $S = 2(ab + ac + bc)$ , kocka: $S = 6a^2$ .
Výška podstavy (napr. trojuholníka) a výška hranola sú dve rôzne čísla.