Objem hranola

Mesto stavia skatepark a v ňom betónový funbox: nájazd, rovinka a zjazd. Koľko kubíkov betónu treba objednať? Na toto nepotrebuješ povrch, ale objem — koľko miesta teleso zaberá. Pri hranole je na to jeden krátky vzorec.

Objem = podstava × výška

Zo 7. ročníka vieš, že kváder má objem $V = a \cdot b \cdot c$ . Pozri sa naň inak: $a \cdot b$ je obsah podstavy a $c$ je výška. Kváder si predstav ako vrstvy hrubé 1 cm položené na sebe — každá má objem $S_p \cdot 1$ a vrstiev je $v$ .

Rovnako sa „vrství“ každý hranol, preto pre všetky platí

V = S_p \cdot v

$S_p$ = obsah podstavy, $v$ = výška hranola. Jednotky: cm² · cm = cm³, m² · m = m³.

Krabička čokolády z minulej lekcie: $S_p = 12\,\mathrm{cm^2}$ , $v = 20\,\mathrm{cm}$ .

$V = 12 \cdot 20 =$ 240 cm³

Stan (čelo 1,5 m široké a 1 m vysoké, dĺžka 2 m): $S_p = \dfrac{1{,}5 \cdot 1}{2} = 0{,}75\,\mathrm{m^2}$ , $V = 0{,}75 \cdot 2 =$ 1,5 m³ vzduchu.

Podstava lichobežník

Ak je podstava lichobežník so základňami $a$ , $c$ a výškou $v_p$ , jeho obsah je $S_p = \dfrac{(a + c) \cdot v_p}{2}$ .

Funbox z boku je lichobežník: dole 3 m, hore 1 m, vysoký 0,5 m. Do hĺbky obrázka meria 1,2 m — to je výška hranola.

Funbox: $a = 3$ m, $c = 1$ m, $v_p = 0{,}5$ m, dĺžka (výška hranola) $v = 1{,}2$ m.

$S_p = \dfrac{(3 + 1) \cdot 0{,}5}{2} = 1\,\mathrm{m^2}$
$V = S_p \cdot v = 1 \cdot 1{,}2 =$ 1,2 m³ betónu

V úlohe sú dve výšky: výška podstavy ( $v_p = 0{,}5$ m) a výška hranola ( $v = 1{,}2$ m). Výška podstavy patrí do $S_p$ , výška hranola sa násobí až potom.

Kocky zo stavebnice

Koľko kociek s hranou 2 cm sa zmestí do krabice 10 cm × 8 cm × 6 cm?

Pozdĺž hrán: $10 : 2 = 5$ , $8 : 2 = 4$ , $6 : 2 = 3$ kocky. Spolu $5 \cdot 4 \cdot 3 =$ 60 kociek.

Kontrola objemom: krabica $10 \cdot 8 \cdot 6 = 480\,\mathrm{cm^3}$ , kocka $2^3 = 8\,\mathrm{cm^3}$ , $480 : 8 = 60$ ✓

Kocka má hranu 3 cm. Aký má objem? A koľkokrát väčší objem má kocka s dvojnásobnou hranou 6 cm?

Ukáž riešenie

$V = 3^3 =$ 27 cm³. Kocka s hranou 6 cm: $6^3 = 216\,\mathrm{cm^3}$ , a $216 : 27 =$ 8-krát viac. Dvojnásobná hrana = $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ -násobný objem.

Spoj si vzorce s tým, čo počítajú:

Zapamätaj si

Objem každého hranola: $V = S_p \cdot v$ (obsah podstavy krát výška hranola).
Kváder $V = abc$ a kocka $V = a^3$ sú len špeciálne prípady.
Trojuholník: $S_p = \frac{a \cdot v_a}{2}$ , lichobežník: $S_p = \frac{(a + c) \cdot v_p}{2}$ .
Výška podstavy a výška hranola sú rôzne čísla — nepomýľ si ich.
Dvojnásobná hrana kocky = osemnásobný objem.