Valec, kužeľ a guľa: povrch a objem

Plechovka od nápoja, kornútok zmrzliny, lopta na basketbal, medený vodič v stene — všetko sú rotačné telesá: vzniknú otočením obdĺžnika, pravouhlého trojuholníka alebo polkruhu okolo osi. Ich vzorce vychádzajú z kruhu ( $S = \pi r^2$ , $o = 2\pi r$ ), ktorý už poznáš. Kľúčové je vždy dosadiť polomer, nie priemer.

Valec, kužeľ a guľa: polomer $r$ , výška $v$ , strana kužeľa $s$ .

Valec

Valec je „okrúhly hranol“: podstava je kruh, plášť po rozvinutí obdĺžnik so stranami $2\pi r$ a $v$ .

V = \pi r^2 v

S = 2\pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r\,(r + v)

Plechovka má priemer 6,6 cm a výšku 11,5 cm. Aký má objem a koľko plechu treba?

Polomer: $r = 6{,}6 : 2 = 3{,}3\,\mathrm{cm}$ .
$V = \pi \cdot 3{,}3^2 \cdot 11{,}5 \doteq 393{,}4\,\mathrm{cm^3}$ — teda asi 0,39 l. Na plechovke je 0,33 l, lebo skutočná plechovka je hore zúžená, dno má vyklenuté dovnútra a nad nápojom ostáva vzduch.
$S = 2\pi \cdot 3{,}3 \cdot (3{,}3 + 11{,}5) \doteq 306{,}9\,\mathrm{cm^2}$ .

$V \doteq 393\,\mathrm{cm^3}$ , plech $S \doteq 307\,\mathrm{cm^2}$ .

Elektro: vodič je dlhý tenký valec, $V = S \cdot l$ (prierez krát dĺžka). Kábel s medenou žilou 1,5 mm² a dĺžkou 100 m: $V = 1{,}5\,\mathrm{mm^2} \cdot 100\,000\,\mathrm{mm} = 150\,000\,\mathrm{mm^3} = 150\,\mathrm{cm^3}$ . S hustotou medi $8{,}96\,\mathrm{g/cm^3}$ je to $150 \cdot 8{,}96 = 1\,344\,\mathrm{g}$ , asi 1,34 kg medi v jednej žile.

Kužeľ

Kužeľ je „okrúhly ihlan“ — preto má v objeme opäť tretinu. Plášť je kruhový výsek, jeho obsah je $\pi r s$ , kde $s$ je strana kužeľa (od vrcholu k okraju podstavy):

V = \frac{1}{3}\pi r^2 v

S = \pi r^2 + \pi r s

s = \sqrt{r^2 + v^2}

Kornútok zmrzliny: polomer 2,5 cm, výška 10 cm.

$s = \sqrt{2{,}5^2 + 10^2} = \sqrt{106{,}25} \doteq 10{,}31\,\mathrm{cm}$ .
Objem (bez kopčeka navrchu): $V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 2{,}5^2 \cdot 10 \doteq 65{,}4\,\mathrm{cm^3}$ .
Oblátka je len plášť: $S_{pl} = \pi \cdot 2{,}5 \cdot 10{,}31 \doteq 81{,}0\,\mathrm{cm^2}$ .

Kornútok pojme asi 65 cm³ zmrzliny a oblátka má asi 81 cm².

Guľa

V = \frac{4}{3}\pi r^3

S = 4\pi r^2

Lopta na basketbal s priemerom 24 cm ( $r = 12\,\mathrm{cm}$ ): $V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 12^3 \doteq 7\,238\,\mathrm{cm^3} \doteq 7{,}2\,\mathrm{l}$ vzduchu, $S = 4\pi \cdot 12^2 \doteq 1\,810\,\mathrm{cm^2}$ kože.

Krásna súvislosť (Archimedes): guľa vpísaná do valca s výškou $2r$ má dve tretiny jeho objemu — $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ oproti $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$ .

Priemer namiesto polomeru. Ak do vzorca pre loptu dosadíš 24 namiesto 12, vyjde $\tfrac{4}{3}\pi \cdot 24^3 \doteq 57\,906\,\mathrm{cm^3}$ — osemkrát viac, lebo polomer je v tretej mocnine ( $2^3 = 8$ ). Rovnako to platí naopak: guľa s dvojnásobným polomerom má 8-krát väčší objem, ale len 4-krát väčší povrch.

Hra: pexeso — nájdi k telesu jeho vzorec.

Teraz ty: chyť správny výsledok (π nechaj v odpovedi).

a) Valec má polomer 4 cm a výšku 10 cm. Vypočítaj objem a povrch. b) Kužeľ má polomer 6 cm a výšku 8 cm. Vypočítaj stranu, objem a povrch.

Ukáž riešenie

a) $V = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi \doteq 502{,}65\,\mathrm{cm^3}$ ; $S = 2\pi \cdot 4 \cdot (4 + 10) = 112\pi \doteq 351{,}86\,\mathrm{cm^2}$ .

b) $s = \sqrt{36 + 64} = 10\,\mathrm{cm}$ ; $V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \doteq 301{,}59\,\mathrm{cm^3}$ ; $S = \pi \cdot 36 + \pi \cdot 6 \cdot 10 = 96\pi \doteq 301{,}59\,\mathrm{cm^2}$ (číselne rovnako ako objem, ale v cm²).

Zapamätaj si

Valec: $V = \pi r^2 v$ , $S = 2\pi r\,(r + v)$ ; vodič: $V = S \cdot l$ .
Kužeľ: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 v$ , $S = \pi r^2 + \pi r s$ , $s = \sqrt{r^2 + v^2}$ .
Guľa: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $S = 4\pi r^2$ .
Do vzorcov vždy polomer, nie priemer; dvojnásobný polomer = 8-krát väčší objem.

Valec, kužeľ a guľa: povrch a objem

Valec

Kužeľ

Guľa

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí