Rezy kocky a priestorová predstavivosť

Keď rovno rozkrojíš kocku syra, masla alebo kocku z mäkkého dreva, plocha rezu je mnohouholník. Kolmo na hranu vyjde štvorec — ale šikmým rezom dostaneš trojuholník, obdĺžnik, lichobežník, ba aj pravidelný šesťuholník. Rez kocky rovinou je časť roviny, ktorá leží v kocke. Naučíš sa ho nakresliť podľa dvoch pravidiel a vypočítať jeho obsah.

Dve pravidlá rezu

Rovinu rezu určujú tri body (zvyčajne na hranách). Rez sa skladá z úsečiek — z každej steny, ktorú rovina pretne, jedna strana.

Dva body v tej istej stene spoj — ich spojnica je strana rezu. Body z rôznych stien nikdy nespájaj priamo „cez vnútro“.
Rovnobežné steny pretne rovina v rovnobežných úsečkách. Keď poznáš stranu rezu v jednej stene, v protiľahlej stene vedieš rovnobežku.

Pri zložitejších rezoch sa ešte predlžujú hrany a hľadajú priesečníky s rovinou rezu mimo kocky — to si nechaj na hodinu s pravítkom. Väčšina úloh sa vyrieši týmito dvoma pravidlami.

Rez kocky rovinou $BCK$ , kde $K$ je stred hrany $AE$ . Prerušované strany ležia v skrytých stenách.

Rez rovinou $BCK$ pre kocku s hranou 4 cm.

$B$ , $C$ ležia v podstave: strana $BC$ , dĺžka 4 cm.
$K$ a $B$ ležia v prednej stene: strana $KB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \doteq 4{,}47\,\mathrm{cm}$ .
Ľavá stena $ADHE$ je rovnobežná s pravou stenou $BCGF$ , v ktorej leží $BC$ . Preto vedieme z $K$ rovnobežku s $BC$ — dopadne do stredu $L$ hrany $DH$ .
$L$ a $C$ ležia v zadnej stene: strana $LC$ .

Rez je obdĺžnik $BCLK$ so stranami 4 cm a $\sqrt{20}\,\mathrm{cm}$ , obsah $4\sqrt{20} \doteq 17{,}89\,\mathrm{cm^2}$ .

Známe rezy kocky

Rovina rezu	Rez	Obsah (hrana $a$ )
rovnobežná so stenou	štvorec $a \times a$	$a^2$
uhlopriečna, napr. $BDHF$	obdĺžnik $a \times a\sqrt{2}$	$a^2\sqrt{2}$
cez tri vrcholy susediace s jedným vrcholom, napr. $BEG$ (susedia s $F$ )	rovnostranný trojuholník so stranou $a\sqrt{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$
cez stredy hrán $AB$ , $BC$ , $CG$ , $GH$ , $HE$ , $EA$	pravidelný šesťuholník so stranou $\frac{a\sqrt{2}}{2}$	$\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
cez $E$ , $G$ a stred hrany $AB$	rovnoramenný lichobežník (druhý vrchol dolnej základne je stred $BC$ )	—

Rez $BEG$ — tri stenové uhlopriečky, teda rovnostranný trojuholník. Rez cez stredy šiestich hrán — pravidelný šesťuholník.

Čo rez kocky byť nemôže

Kocka má 6 stien a z každej steny prispeje rez najviac jednou stranou — preto má rez najviac 6 strán. Sedemuholník nikdy.

Ďalšie dva prekvapivé zákazy (dajú sa dokázať, tu len zdôvodnenie):

Pravidelný päťuholník nie. Päťuholník vznikne (rovina pretne 5 stien), ale medzi piatimi stenami sú vždy dve dvojice protiľahlých — podľa pravidla 2 má rez dve dvojice rovnobežných strán. Pravidelný päťuholník rovnobežné strany nemá.
Pravouhlý ani tupouhlý trojuholník nie — každý trojuholníkový rez je ostrouhlý. Trojuholníkový rez odreže roh kocky: rovina pretne tri hrany z jedného vrcholu vo vzdialenostiach $p, q, r > 0$ od neho. Strany rezu sú prepony pravouhlých trojuholníkov: $x^2 = q^2 + r^2$ , $y^2 = p^2 + r^2$ , $z^2 = p^2 + q^2$ . Pre uhol $\gamma$ oproti strane $z$ dá kosínusová veta $2xy\cos\gamma = x^2 + y^2 - z^2 = 2r^2 > 0$ , takže $\gamma$ je ostrý; rovnako oba ďalšie uhly. (Pravému uhlu sa môže ľubovoľne priblížiť, nikdy ho nedosiahne.)

Spojil si body z dvoch rôznych stien? Napríklad $K$ (na hrane $AE$ ) a $C$ neležia v jednej stene — úsečka $KC$ ide vnútrom kocky a stranou rezu nie je. Strany rezu ležia vždy na povrchu kocky.

Hra: môže byť tento útvar rezom kocky?

Teraz ty: chyť správny obsah rezu kocky s hranou 10 cm.

Kocka má hranu 6 cm. a) Aký je obsah rezu $BEG$ ? b) Aký je obsah uhlopriečneho rezu $ACGE$ ? c) Aký útvar je rez rovinou $EGK$ , kde $K$ je stred $AB$ ?

Ukáž riešenie

a) Strana $6\sqrt{2} \doteq 8{,}49\,\mathrm{cm}$ , obsah $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 18\sqrt{3} \doteq 31{,}18\,\mathrm{cm^2}$ .

b) Obdĺžnik $6 \times 6\sqrt{2}$ : $36\sqrt{2} \doteq 50{,}91\,\mathrm{cm^2}$ .

c) Strop je rovnobežný s podlahou, preto vedieme z $K$ rovnobežku s $EG$ — dopadne do stredu $L$ hrany $BC$ . Rez $EGLK$ je rovnoramenný lichobežník so základňami $EG = 6\sqrt{2}$ a $KL = 3\sqrt{2}$ .

Zapamätaj si

Spájaj len body, ktoré ležia v tej istej stene.
Rovnobežné steny pretne rovina v rovnobežných úsečkách.
Rez kocky má 3 až 6 strán; trojuholníkový rez je vždy ostrouhlý, päťuholník nikdy pravidelný.
Rez $BEG$ je rovnostranný trojuholník so stranou $a\sqrt{2}$ , uhlopriečny rez je obdĺžnik $a \times a\sqrt{2}$ .
Cez stredy šiestich vhodných hrán prechádza pravidelný šesťuholník so stranou $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .