Sínusová veta

Strecha garáže, trojuholníkový pozemok, trasa bežeckého okruhu cez tri body — skoro nikde nie je pravý uhol. Sínus, kosínus a tangens z pravouhlého trojuholníka tu priamo nefungujú. Sínusová veta je prvý nástroj, ktorým vypočítaš strany a uhly ľubovoľného trojuholníka.

Označenie v trojuholníku

Vrcholy sú $A$ , $B$ , $C$ , uhly pri nich $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Strana sa volá malým písmenom vrcholu, oproti ktorému leží: strana $a$ leží oproti vrcholu $A$ , teda oproti uhlu $\alpha$ . Rovnako $b$ oproti $\beta$ a $c$ oproti $\gamma$ .

Strana $a$ leží oproti uhlu $\alpha$ , strana $b$ oproti $\beta$ , strana $c$ oproti $\gamma$ .

Súčet uhlov je vždy $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ . Oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana.

V každom trojuholníku je pomer strany a sínusu protiľahlého uhla rovnaký:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r

kde $r$ je polomer kružnice opísanej trojuholníku. Na výpočet stačí vždy jedna dvojica rovností, napríklad $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}$ .

Kedy ju použiješ? Keď poznáš dvojicu strana + protiľahlý uhol a k tomu ešte jeden údaj:

dva uhly a stranu (tretí uhol dopočítaš zo súčtu $180°$ ),
dve strany a uhol oproti jednej z nich.

Dva uhly a strana: $a = 8\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 40°$ , $\beta = 65°$ . Vypočítaj $\gamma$ , $b$ , $c$ .

$\gamma = 180° - 40° - 65° = 75°$
$b = \dfrac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha} = \dfrac{8 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} = \dfrac{8 \cdot 0{,}9063}{0{,}6428}$ , teda $b \approx 11{,}28\,\mathrm{cm}$
$c = \dfrac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \dfrac{8 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \dfrac{8 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428}$ , teda $c \approx 12{,}02\,\mathrm{cm}$

Kontrola: najväčší uhol $\gamma = 75°$ má oproti sebe najväčšiu stranu $c$ ✓

Výpočet uhla

Poznáš dve strany a uhol oproti jednej z nich. Zo sínusovej vety vypočítaš sínus druhého uhla a na kalkulačke použiješ $\sin^{-1}$ .

Dve strany a uhol: $a = 10\,\mathrm{cm}$ , $b = 7\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 50°$ . Vypočítaj $\beta$ , $\gamma$ , $c$ .

$\sin\beta = \dfrac{b \cdot \sin\alpha}{a} = \dfrac{7 \cdot \sin 50°}{10} \approx 0{,}5362$
$\beta = \sin^{-1}(0{,}5362)$ , teda $\beta \approx 32{,}4°$ . Druhá možnosť $180° - 32{,}4° = 147{,}6°$ nejde, lebo s $\alpha = 50°$ by súčet presiahol $180°$ .
$\gamma \approx 180° - 50° - 32{,}4° = 97{,}6°$
$c = \dfrac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \dfrac{10 \cdot \sin 97{,}6°}{\sin 50°}$ , teda $c \approx 12{,}94\,\mathrm{cm}$

Dve riešenia

$\sin\beta = 0{,}76$ neznamená jeden uhol. Sínus je kladný v prvom aj druhom kvadrante, takže $\sin\beta = \sin(180° - \beta)$ . Kalkulačka ti ukáže len ostrý uhol. Vždy si over aj tupý uhol $180° - \beta$ .

Príklad: $a = 6$ , $b = 8$ , $\alpha = 35°$ . Vyjde $\sin\beta \approx 0{,}7648$ , teda $\beta_1 \approx 49{,}9°$ alebo $\beta_2 \approx 130{,}1°$ . Obe sú možné ( $35° + 130{,}1° \lt 180°$ ) — existujú dva rôzne trojuholníky ( $c_1 \approx 10{,}42$ a $c_2 \approx 2{,}69$ ).

Rýchle pravidlo: ak je strana oproti zadanému uhlu dlhšia alebo rovnako dlhá ako druhá zadaná strana ( $a \ge b$ ), riešenie je najviac jedno.

Kalkulačka v stupňoch. Pred výpočtom skontroluj, že kalkulačka je v režime DEG (na displeji D alebo DEG). V režime RAD ti $\sin 40°$ vyjde ako sínus 40 radiánov — úplne iné číslo.

V trojuholníku je $a = 12\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 30°$ , $\beta = 45°$ . Vypočítaj $b$ a polomer kružnice opísanej $r$ .

Ukáž riešenie

$b = \dfrac{12 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{12 \cdot 0{,}7071}{0{,}5}$ , teda $b \approx 16{,}97\,\mathrm{cm}$ .

$2r = \dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{12}{0{,}5} = 24\,\mathrm{cm}$ , teda $r = 12\,\mathrm{cm}$ .

Hra: chyť balónik so správnym výsledkom (kalkulačka po ruke).

Zapamätaj si

Strana $a$ leží oproti uhlu $\alpha$ , $b$ oproti $\beta$ , $c$ oproti $\gamma$ ; $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ .
Sínusová veta: $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2r$ .
Použiješ ju, keď poznáš stranu aj jej protiľahlý uhol a ešte jeden údaj.
Pri výpočte uhla zo sínusu over aj $180° - \beta$ — úloha môže mať dve riešenia.

Sínusová veta

Označenie v trojuholníku

Sínusová veta

Výpočet uhla

Dve riešenia

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí