Kosínusová veta

Dve autá vyrazia z tej istej križovatky po dvoch rovných cestách, ktoré zvierajú uhol $60°$ . Jedno prejde $5\,\mathrm{km}$ , druhé $8\,\mathrm{km}$ . Ako ďaleko sú od seba? Poznáš dve strany a uhol medzi nimi — sínusová veta tu nepomôže, lebo nemáš žiadnu dvojicu strana + protiľahlý uhol. Pomôže kosínusová veta.

Štvorec strany sa rovná súčtu štvorcov zvyšných dvoch strán mínus ich dvojnásobný súčin krát kosínus uhla, ktorý zvierajú:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Rovnako pre ostatné strany (vždy uhol oproti počítanej strane):

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta

Keď je $\gamma = 90°$ , je $\cos 90° = 0$ a ostane $c^2 = a^2 + b^2$ — Pytagorova veta. Kosínusová veta je jej zovšeobecnenie.

Autá z križovatky: $a = 5\,\mathrm{km}$ , $b = 8\,\mathrm{km}$ , $\gamma = 60°$ .

$c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 80 \cdot 0{,}5 = 49$
$c = \sqrt{49}$ , teda $c = 7\,\mathrm{km}$

Uhly z troch strán

Keď poznáš všetky tri strany, vyjadri z vety kosínus:

\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Trojuholník so stranami $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ .

$\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 16}{60} = 0{,}75$ , teda $\alpha \approx 41{,}4°$
$\cos\beta = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{16 + 36 - 25}{48} = 0{,}5625$ , teda $\beta \approx 55{,}8°$
$\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx 82{,}8°$ (kontrola cez $\cos\gamma = \dfrac{16 + 25 - 36}{40} = 0{,}125$ dá tiež $82{,}8°$ ✓)

Tupý uhol

Ak vyjde kosínus záporný, uhol je tupý. Na rozdiel od sínusu tu nič nehrozí: $\cos^{-1}$ ti dá jediný uhol z intervalu $0°$ až $180°$ .

Trojuholník $3$ , $5$ , $7$ : $\cos\gamma = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -0{,}5$ , teda $\gamma = 120°$ .

Z toho plynie rýchly test druhu trojuholníka. Zober najdlhšiu stranu $c$ a porovnaj:

$c^2 \lt a^2 + b^2$	$c^2 = a^2 + b^2$	$c^2 \gt a^2 + b^2$
ostrouhlý	pravouhlý	tupouhlý

Mínus a záporný kosínus. Pri $\gamma = 120°$ je $\cos\gamma = -0{,}5$ , takže $-2ab\cos\gamma$ je kladné číslo: $c^2 = a^2 + b^2 + ab$ . Strana oproti tupému uhlu je preto dlhšia, než by bola pri pravom uhle. Kto zabudne na znamienko kosínusu, dostane príliš krátku stranu.

Hra: roztrieď trojuholníky podľa strán (porovnaj štvorec najdlhšej strany so súčtom štvorcov zvyšných dvoch).

Sily pod uhlom

Dve sily $F_1 = 8\,\mathrm{N}$ a $F_2 = 6\,\mathrm{N}$ ťahajú z jedného bodu a zvierajú uhol $\varphi = 60°$ . Výslednica je uhlopriečka rovnobežníka síl. V trojuholníku, ktorý tvorí s $F_1$ a $F_2$ , je uhol $180° - \varphi = 120°$ , preto:

F^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 120° = 64 + 36 + 48 = 148,

F \approx 12{,}17\,\mathrm{N}

Skús to v simulácii: nastav uhol medzi silami a over svoj výpočet.

a) Vypočítaj $c$ , ak $a = 6$ , $b = 10$ , $\gamma = 120°$ . b) Je trojuholník so stranami $4$ , $6$ , $9$ ostrouhlý, pravouhlý alebo tupouhlý?

Ukáž riešenie

a) $c^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196$ , teda $c = 14$ .

b) Najdlhšia strana $9$ : $9^2 = 81$ , $4^2 + 6^2 = 52$ . Keďže $81 \gt 52$ , trojuholník je tupouhlý.

Zapamätaj si

Kosínusová veta: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ (uhol $\gamma$ leží medzi stranami $a$ , $b$ ).
Pre $\gamma = 90°$ z nej vyjde Pytagorova veta.
Uhol z troch strán: $\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ; záporný kosínus = tupý uhol.
Použiješ ju pri dvoch stranách a uhle medzi nimi alebo pri troch stranách.

Kosínusová veta