Riešenie trojuholníka a obsah S = ½ab·sin γ

Chceš vedieť, koľko trávnika treba na trojuholníkovú záhradu, alebo koľko plechu na štít strechy. Odmeriaš dve strany a uhol medzi nimi — a obsah máš za minútu. Vyriešiť trojuholník znamená dopočítať všetky tri strany a tri uhly; obsah je potom bonus.

Ktorú vetu použiť

Na vyriešenie potrebuješ tri údaje, z toho aspoň jednu stranu. Podľa toho, čo poznáš, vyber prvý krok:

Poznáš	Skratka	Prvý krok
tri strany	$sss$	kosínusová veta → uhol
dve strany a uhol medzi nimi	$sus$	kosínusová veta → tretia strana
stranu a dva uhly	$usu$	tretí uhol zo súčtu $180°$ , potom sínusová veta
dve strany a uhol oproti jednej z nich	$Ssu$	sínusová veta → pozor na dve riešenia
tri uhly	—	nedá sa: poznáš len tvar, nie veľkosť

Jednoduchá pomôcka: máš dvojicu strana + protiľahlý uhol? → sínusová veta. Nemáš? → kosínusová veta.

Hra: roztrieď zadania podľa toho, ktorou vetou začneš.

Riešený trojuholník krok za krokom

Zadanie $sus$ : $a = 7\,\mathrm{cm}$ , $b = 9\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = 48°$ . Vypočítaj $c$ , $\alpha$ , $\beta$ .

Kosínusová veta: $c^2 = 49 + 81 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 48° \approx 130 - 84{,}31 = 45{,}69$ , teda $c \approx 6{,}76\,\mathrm{cm}$
Uhol $\alpha$ (znova kosínusovou vetou, tá je jednoznačná): $\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx \dfrac{81 + 45{,}69 - 49}{2 \cdot 9 \cdot 6{,}76} \approx 0{,}6385$ , teda $\alpha \approx 50{,}3°$
$\beta = 180° - \gamma - \alpha \approx 180° - 48° - 50{,}3°$ , teda $\beta \approx 81{,}7°$

Kontrola: najdlhšia strana $b = 9$ leží oproti najväčšiemu uhlu $\beta$ ✓

Zaokrúhľuj až na konci. Ak by si v kroku 2 počítal so zaokrúhleným $c = 7$ , vyšiel by iný uhol. Medzivýsledky nechaj v pamäti kalkulačky a zaokrúhli až výsledok.

Obsah z dvoch strán a uhla

Výška na stranu $a$ je $v_a = b\sin\gamma$ (z pravouhlého trojuholníka, ktorý odrezáva). Dosadením do $S = \tfrac12 a\,v_a$ dostaneš:

S = \frac12\,a\,b\,\sin\gamma = \frac12\,a\,c\,\sin\beta = \frac12\,b\,c\,\sin\alpha

Vždy dve strany a uhol, ktorý zvierajú. Pre tupý uhol to funguje tiež, lebo $\sin 150° = \sin 30° = 0{,}5$ .

Záhrada: dva ploty majú $30\,\mathrm{m}$ a $40\,\mathrm{m}$ a zvierajú uhol $50°$ . Tretí plot uzatvára trojuholník.

$S = \tfrac12 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \sin 50° = 600 \cdot 0{,}7660$ , teda $S \approx 459{,}6\,\mathrm{m^2}$

V predošlom príklade: $S = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 48°$ , teda $S \approx 23{,}41\,\mathrm{cm^2}$ .

Obsah z troch strán

Keď poznáš len strany, použi Herónov vzorec, v ktorom $s$ je polovica obvodu, $s = \dfrac{a + b + c}{2}$ :

S = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}

Trojuholník $13$ , $14$ , $15$ : $s = 21$ , $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ . Výška na stranu $14$ je potom $v = \dfrac{2S}{14} = 12$ .

Bez Herónovho vzorca to tiež ide: z troch strán vypočítaj kosínusovou vetou jeden uhol a dosaď do $S = \tfrac12 ab\sin\gamma$ . Herónov vzorec je len skratka.

Hra: chyť správny obsah.

Zapamätaj si

Dvojica strana + protiľahlý uhol → sínusová veta; inak kosínusová veta.
Tri uhly trojuholník neurčujú — chýba veľkosť.
Obsah: $S = \tfrac12\,ab\sin\gamma$ (dve strany a uhol medzi nimi).
Herónov vzorec: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ .
Zaokrúhľuj až na konci výpočtu.

Riešenie trojuholníka a obsah S = ½ab·sin γ

Ktorú vetu použiť

Riešený trojuholník krok za krokom

Obsah z dvoch strán a uhla

Obsah z troch strán

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí