Elipsa

Záhradník zapichne do zeme dva kolíky, priviaže k nim konce špagátu a napnutý špagát ťahá okolo. Palica, ktorá špagát napína, nakreslí ovál — elipsu. Po elipsách obiehajú planéty okolo Slnka a elipsu uvidíš aj vtedy, keď sa na okrúhly hrnček pozrieš zošikma. Dnes ju zapíšeš rovnicou.

Elipsa ako množina bodov

Dané sú dva body $F_1$ , $F_2$ (ohniská) a číslo $a$ , pričom $2a \gt |F_1F_2|$ . Elipsa je množina všetkých bodov $X$ roviny, pre ktoré

|XF_1| + |XF_2| = 2a

Špagát má dĺžku $2a$ — preto súčet vzdialeností ostáva stále rovnaký.

Pojem	Značka	Čo to je
stred	$S$	stred úsečky $F_1F_2$
hlavná poloos	$a$	$\lvert SA \rvert = \lvert SB \rvert$ , hlavné vrcholy $A$ , $B$
vedľajšia poloos	$b$	$\lvert SC \rvert = \lvert SD \rvert$ , vedľajšie vrcholy $C$ , $D$
excentricita	$e$	$\lvert SF_1 \rvert = \lvert SF_2 \rvert$

Vrchol $C$ je od oboch ohnísk rovnako ďaleko, preto $|CF_1| = a$ . Z pravouhlého trojuholníka $SCF_1$ :

a^2 = b^2 + e^2

Rovnica elipsy

Ak je stred $S[m;\ n]$ a hlavná os je rovnobežná s osou $x$ :

\frac{(x - m)^2}{a^2} + \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1

a \gt b

Ak je hlavná os rovnobežná s osou $y$ , je $a^2$ pod $y$ : $\dfrac{(x - m)^2}{b^2} + \dfrac{(y - n)^2}{a^2} = 1$ . Pravidlo: väčší menovateľ je $a^2$ a pri tej premennej leží hlavná os.

Elipsa $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : $a = 5$ , $b = 3$ , $e = 4$ . Bod $X[4;\ 1{,}8]$ má od ohnísk vzdialenosti $8{,}2$ a $1{,}8$ — spolu $10 = 2a$ .

Elipsa $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

Väčší menovateľ je pod $x$ : $a^2 = 25$ , $b^2 = 9$ , teda $a = 5$ , $b = 3$ , hlavná os leží na osi $x$
$e = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$
$S[0;\ 0]$ , $F_{1,2}[\pm 4;\ 0]$ , $A, B[\pm 5;\ 0]$ , $C, D[0;\ \pm 3]$
Kontrola definíciou bodom $X[4;\ 1{,}8]$ : $|XF_2| = 1{,}8$ , $|XF_1| = \sqrt{8^2 + 1{,}8^2} = 8{,}2$ , súčet $10 = 2a$ ✓

Elipsa: $e^2 = a^2 - b^2$ , nie $a^2 + b^2$ . Ohniská ležia vnútri elipsy, takže $e \lt a$ . Súčet $a^2 + b^2$ patrí hyperbole (ďalšia lekcia). A $a$ nemusí byť pod $x$ — pozri, ktorý menovateľ je väčší.

Hra: priraď elipsu k jej ohniskám ( $e = \sqrt{a^2 - b^2}$ , ohniská ležia na hlavnej osi).

Záhradník počíta

Kolíky sú $4\,\mathrm{m}$ od seba, špagát má $5\,\mathrm{m}$ . Aký široký bude záhon?

Špagát $= 2a = 5\,\mathrm{m}$ , teda $a = 2{,}5\,\mathrm{m}$
Kolíky $= |F_1F_2| = 2e = 4\,\mathrm{m}$ , teda $e = 2\,\mathrm{m}$
$b = \sqrt{a^2 - e^2} = \sqrt{6{,}25 - 4} = 1{,}5\,\mathrm{m}$
Záhon má rozmery $2a \times 2b$ = $5\,\mathrm{m} \times 3\,\mathrm{m}$

Posunutá elipsa a doplnenie na štvorec

Urči stred a poloosi elipsy $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ .

Vyber koeficienty pred zátvorku: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$
Doplň: $4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 1)^2 - 9 = 11$ , teda $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$
Vydeľ $36$ : $\dfrac{(x - 2)^2}{9} + \dfrac{(y + 1)^2}{4} = 1$
$S[2;\ -1]$ , $a = 3$ , $b = 2$ , $e = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ , ohniská $[2 \pm \sqrt5;\ -1]$

Elektro: elipsa na osciloskope. V režime XY privedieš na vstupy dve sínusové napätia s rovnakou frekvenciou, posunuté o štvrť periódy: $x = A\sin\omega t$ , $y = B\cos\omega t$ . Keďže $\sin^2 + \cos^2 = 1$ , platí $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ — na obrazovke je elipsa, pri $A = B$ kružnica. Kružnica je elipsa s $a = b$ a $e = 0$ .

a) Urči $a$ , $b$ , $e$ a ohniská elipsy $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ . b) Napíš rovnicu elipsy so stredom v začiatku, ohniskami $[\pm 6;\ 0]$ a vrcholom $[10;\ 0]$ .

Ukáž riešenie

a) Väčší menovateľ je pod $y$ : $a = 5$ , $b = 4$ , $e = \sqrt{25 - 16} = 3$ . Hlavná os leží na osi $y$ , ohniská $[0;\ \pm 3]$ .

b) $a = 10$ , $e = 6$ , $b = \sqrt{100 - 36} = 8$ . $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$

Teraz ty — chyť správnu odpoveď:

Zapamätaj si

Elipsa: $|XF_1| + |XF_2| = 2a$ — súčet vzdialeností od ohnísk je stály.
Rovnica: $\dfrac{(x - m)^2}{a^2} + \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1$ ; väčší menovateľ je $a^2$ a určuje smer hlavnej osi.
$a^2 = b^2 + e^2$ , teda $e = \sqrt{a^2 - b^2}$ ; ohniská ležia na hlavnej osi vo vzdialenosti $e$ od stredu.
Všeobecnú rovnicu uprav doplnením na štvorec (koeficient pred $x^2$ , $y^2$ najprv vyber pred zátvorku) a vydeľ pravú stranu.

Elipsa ako množina bodov

Rovnica elipsy

Záhradník počíta

Posunutá elipsa a doplnenie na štvorec

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí