Parabola a hyperbola

Satelitná anténa aj reflektor auta majú v priereze parabolu. Lúče, ktoré prídu rovnobežne s osou, sa po odraze stretnú v jednom bode — v ohnisku. Tam patrí prijímač antény; v reflektore je to naopak — zo zdroja v ohnisku vyjde rovnobežný zväzok. Kde presne ohnisko je, vypočítaš z rovnice. A na záver: všetky štyri krivky tohto celku sú kužeľosečky.

Parabola

Daný je bod $F$ (ohnisko) a priamka $d$ (riadiaca priamka), $F \notin d$ . Parabola je množina všetkých bodov $X$ , ktoré sú od $F$ a od $d$ rovnako ďaleko: $|XF| = |Xd|$ .

Vzdialenosť ohniska od riadiacej priamky je parameter $p$ . Vrchol $V$ leží presne v strede medzi nimi, teda $|VF| = \frac{p}{2}$ .

Vrcholová rovnica ( $V[m;\ n]$ )	Otvorená	Ohnisko	Riadiaca priamka
$(x - m)^2 = 2p\,(y - n)$	nahor	$\left[m;\ n + \frac{p}{2}\right]$	$y = n - \frac{p}{2}$
$(x - m)^2 = -2p\,(y - n)$	nadol	$\left[m;\ n - \frac{p}{2}\right]$	$y = n + \frac{p}{2}$
$(y - n)^2 = 2p\,(x - m)$	doprava	$\left[m + \frac{p}{2};\ n\right]$	$x = m - \frac{p}{2}$
$(y - n)^2 = -2p\,(x - m)$	doľava	$\left[m - \frac{p}{2};\ n\right]$	$x = m + \frac{p}{2}$

Parabola $x^2 = 4y$ : $2p = 4$ , $p = 2$ , ohnisko $F[0;\ 1]$ , riadiaca priamka $y = -1$ . Bod $X[2;\ 1]$ je od $F$ aj od $d$ vzdialený $2$ .

Graf kvadratickej funkcie $y = ax^2$ s $a \gt 0$ je tá istá parabola (pri $a \lt 0$ je otvorená nadol a $2p = -\frac{1}{a}$ ): $x^2 = \frac{1}{a}\,y$ , teda $2p = \frac{1}{a}$ . Pre $y = \frac{x^2}{4}$ vyjde $x^2 = 4y$ , ako na obrázku.

Anténa má priemer $60\,\mathrm{cm}$ a hĺbku $9\,\mathrm{cm}$ . Kde je ohnisko?

Vrchol antény daj do $[0;\ 0]$ , os do osi $y$ : prierez je $x^2 = 2py$
Okraj antény je bod $[30;\ 9]$ (polovica priemeru, hĺbka)
$30^2 = 2p \cdot 9$ , teda $900 = 18p$ a $p = 50\,\mathrm{cm}$
Ohnisko je $\frac{p}{2}$ od vrcholu: prijímač patrí $25\,\mathrm{cm}$ nad stred antény

(Počítame jednoduchú súmernú anténu; ofsetové antény na balkónoch používajú len kus paraboly, tam je prijímač bokom.)

$p$ nie je vzdialenosť vrcholu od ohniska. $p$ je vzdialenosť ohniska od riadiacej priamky; vrchol je od ohniska vzdialený $\frac{p}{2}$ . Pri $x^2 = 12y$ je $2p = 12$ , $p = 6$ a ohnisko $[0;\ 3]$ , nie $[0;\ 6]$ ani $[0;\ 12]$ .

Hyperbola

Dané sú ohniská $F_1$ , $F_2$ a číslo $a$ , pričom $2a \lt |F_1F_2|$ . Hyperbola je množina bodov $X$ , pre ktoré je rozdiel vzdialeností od ohnísk stály:

\big|\,|XF_1| - |XF_2|\,\big| = 2a

Má dve vetvy. Pri hyperbole platí $e^2 = a^2 + b^2$ (ohniská sú ďalej od stredu ako vrcholy). Stredová rovnica s hlavnou osou na osi $x$ :

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

\text{vrcholy } [\pm a;\ 0], \quad \text{ohniská } [\pm e;\ 0], \quad \text{asymptoty } y = \pm\frac{b}{a}\,x

Ak je mínus pred $x^2$ , teda $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ , hlavná os leží na osi $y$ . Pri hyperbole rozhoduje o $a^2$ znamienko plus, nie veľkosť menovateľa. Asymptoty sú priamky, ku ktorým sa vetvy ďaleko od stredu stále viac približujú.

Hyperbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ : vrcholy $[\pm 4;\ 0]$ , ohniská $[\pm 5;\ 0]$ , asymptoty $y = \pm\frac{3}{4}x$ .

Hyperbola $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

$a = 4$ , $b = 3$ , $e = \sqrt{16 + 9} = 5$
Vrcholy $[\pm 4;\ 0]$ , ohniská $[\pm 5;\ 0]$ , asymptoty $y = \pm\frac{3}{4}x$
Kontrola definíciou: pre $x = 5$ je $y^2 = 9\left(\frac{25}{16} - 1\right) = \frac{81}{16}$ , bod $X[5;\ 2{,}25]$ . $|XF_2| = 2{,}25$ , $|XF_1| = \sqrt{10^2 + 2{,}25^2} = 10{,}25$ , rozdiel $8 = 2a$ ✓

Hyperbolu poznáš z grafu nepriamej úmernosti. Pri stálom výkone $P$ je prúd $I = \frac{P}{U}$ — pri dvojnásobnom napätí polovičný prúd. Graf $I$ v závislosti od $U$ je vetva hyperboly, len otočená o $45^\circ$ (asymptotami sú osi). Obrys mnohých chladiacich veží v elektrárňach sa hyperbole približuje (ide o rotačný hyperboloid).

Hra: chyť ohnisko, riadiacu priamku, asymptoty či vrchol.

Kužeľosečky: ako ich rozoznať

Všetky štyri krivky vzniknú ako rez kužeľa rovinou: kolmo na os kužeľa kružnica, šikmo elipsa, rovnobežne s povrchovou priamkou parabola a strmšie (rovina pretne obe časti dvojkužeľa) hyperbola.

Z rovnice bez člena $xy$ (ten krivku otáča) ich rozoznáš podľa druhých mocnín (ak rovnica vôbec opisuje krivku):

V rovnici	Krivka
$x^2$ aj $y^2$ , rovnaký koeficient	kružnica
$x^2$ aj $y^2$ , rovnaké znamienko, rôzne koeficienty	elipsa
$x^2$ aj $y^2$ , opačné znamienka	hyperbola
len jedna druhá mocnina ( $x^2$ alebo $y^2$ )	parabola

Zapamätaj si

Parabola: $|XF| = |Xd|$ ; $x^2 = 2py$ má ohnisko $\left[0;\ \frac{p}{2}\right]$ a riadiacu priamku $y = -\frac{p}{2}$ .
Hyperbola: $\big||XF_1| - |XF_2|\big| = 2a$ ; $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $e^2 = a^2 + b^2$ , asymptoty $y = \pm\frac{b}{a}x$ .
Elipsa $e^2 = a^2 - b^2$ , hyperbola $e^2 = a^2 + b^2$ — nezamieňaj.
Kružnica, elipsa, parabola a hyperbola sú kužeľosečky — rezy kužeľa rovinou.

Parabola a hyperbola

Parabola

Hyperbola

Kužeľosečky: ako ich rozoznať

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí