Priamka a kružnica: sečnica, dotyčnica, nesečnica

Pozri sa na uhlovú brúsku pri práci: iskry neletia od stredu kotúča, ale odletujú približne po dotyčnici k okraju. Podobne kladivo pri hode kladivom odletí v smere dotyčnice ku kruhu, ktorý opisovalo, v okamihu výhozu. Priamka a kružnica môžu mať spolu dva, jeden alebo žiadny spoločný bod — a za minútu to vieš vypočítať.

Tri možnosti

Priamka	Spoločné body	Vzdialenosť $d$ stredu od priamky
sečnica	dva	$d \lt r$
dotyčnica	jeden (bod dotyku $T$ )	$d = r$
nesečnica	žiadny	$d \gt r$

Úsečka medzi dvoma priesečníkmi sečnice je tetiva. Ak sečnica prechádza stredom, tetiva je priemer.

Kružnica $x^2 + y^2 = 25$ : sečnica $s$ ( $y = x + 1$ ) ju pretína v bodoch $P_1[3;\ 4]$ a $P_2[-4;\ -3]$ , dotyčnica $t$ ( $4x - 3y = 25$ ) sa jej dotýka v bode $T[4;\ -3]$ , nesečnica $n$ ( $x + y = 10$ ) ju nepretína.

Metóda 1: vzdialenosť stredu od priamky

Ak chceš len polohu, stačí vzdialenosť stredu $S[m;\ n]$ od priamky $p: ax + by + c = 0$ :

d = \frac{|a m + b n + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

a porovnáš ju s polomerom.

Kružnica $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ a priamka $p: 3x + 4y - 36 = 0$ .

$S[1;\ 2]$ , $r = 5$
$d = \dfrac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 36|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|-25|}{5} = 5$
$d = r$ → $p$ je dotyčnica

Priamka $3x + 4y - 11 = 0$ má $d = \frac{|3 + 8 - 11|}{5} = 0$ — prechádza stredom, je to sečnica a jej tetiva je priemer.

Hra: kružnica je $x^2 + y^2 = 25$ ( $S[0;\ 0]$ , $r = 5$ ). Vypočítaj $d$ a roztrieď priamky.

Metóda 2: dosadenie — dostaneš aj body

Z rovnice priamky vyjadri $y$ (alebo $x$ ) a dosaď do rovnice kružnice. Vyjde kvadratická rovnica a jej diskriminant rozhodne: $D \gt 0$ sečnica, $D = 0$ dotyčnica, $D \lt 0$ nesečnica.

Priesečníky kružnice $x^2 + y^2 = 25$ a priamky $y = x + 1$ .

Dosaď: $x^2 + (x + 1)^2 = 25$ , teda $2x^2 + 2x - 24 = 0$ , po vydelení $x^2 + x - 12 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 \gt 0$ → sečnica
$x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$ , teda $x_1 = 3$ , $x_2 = -4$ ; dopočítaj $y = x + 1$
$P_1[3;\ 4]$ , $P_2[-4;\ -3]$ . Kontrola: $9 + 16 = 25$ ✓, $16 + 9 = 25$ ✓

Urči polohu priamky $x + y - 4 = 0$ a kružnice $x^2 + y^2 = 10$ oboma metódami.

Ukáž riešenie

Metóda 1: $d = \dfrac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} \approx 2{,}83$ , $r = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ . Keďže $d \lt r$ , je to sečnica.

Metóda 2: $y = 4 - x$ , $x^2 + (4 - x)^2 = 10$ , teda $2x^2 - 8x + 6 = 0$ , $x^2 - 4x + 3 = 0$ , $x_1 = 1$ , $x_2 = 3$ . Priesečníky $[1;\ 3]$ a $[3;\ 1]$ .

Dotyčnica v bode kružnice

Dotyčnica je kolmá na polomer v bode dotyku. Pre kružnicu $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$ a jej bod $T[x_0;\ y_0]$ je vektor $\overrightarrow{ST}$ normálovým vektorom dotyčnice. Z toho vyjde rovnica

(x_0 - m)(x - m) + (y_0 - n)(y - n) = r^2

Pre stred v začiatku jednoducho $x_0 x + y_0 y = r^2$ .

Dotyčnica ku kružnici $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$ v bode $T[2;\ 1]$ .

Je $T$ na kružnici? $(2 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 1 + 9 = 10$ ✓
Dosaď: $(2 - 1)(x - 1) + (1 + 2)(y + 2) = 10$
$x - 1 + 3y + 6 = 10$
$t: x + 3y - 5 = 0$ . Kontrola bodom $T$ : $2 + 3 - 5 = 0$ ✓

Najprv over, že bod leží na kružnici. Vzorec dotyčnice platí len pre bod kružnice. Ak dosadíš bod mimo nej, dostaneš priamku, ktorá dotyčnicou nie je. A vpravo je $r^2$ , nie $r$ .

Hra: chyť rovnicu dotyčnice v bode $T$ .

Zapamätaj si

$d \lt r$ sečnica (2 body), $d = r$ dotyčnica (1 bod), $d \gt r$ nesečnica (0 bodov).
$d = \dfrac{|am + bn + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ — vzdialenosť stredu $S[m;\ n]$ od priamky $ax + by + c = 0$ .
Dosadením priamky do kružnice dostaneš kvadratickú rovnicu: $D \gt 0$ , $D = 0$ , $D \lt 0$ zodpovedá sečnici, dotyčnici, nesečnici — a korene dajú priesečníky.
Dotyčnica v bode $T[x_0;\ y_0]$ : $(x_0 - m)(x - m) + (y_0 - n)(y - n) = r^2$ ; je kolmá na polomer $ST$ .