Každý s každým

Vás päť si robí turnaj vo futbalovej hre na konzole: každý hrá s každým presne jeden zápas. Koľko zápasov odohráte? Ak jeden zápas aj s prestávkou trvá asi 15 minút, stihnete to do večere?

Pohľad jedného hráča

Každý z 5 hráčov hrá so 4 ostatnými, to je $5 \cdot 4 = 20$ . Lenže zápas Adam – Bea je ten istý ako Bea – Adam a započítali sme ho dvakrát. Preto delíme dvomi:

5 \cdot 4 : 2 = 10 \text{ zápasov}

Hráči A až E sú body, každý zápas je čiara medzi dvoma bodmi. Z každého bodu vedú 4 čiary, spolu je ich 10.

Turnaj zaberie asi $10 \cdot 15 = 150$ minút, teda 2 hodiny 30 minút. Ak začnete o tretej poobede, skončíte okolo pol šiestej.

Tabuľka turnaja

Ten istý počet uvidíš v tabuľke. Políčko na uhlopriečke je hráč sám so sebou (nehrá), a zápas pod uhlopriečkou je ten istý ako nad ňou. Stačí počítať zápasy nad uhlopriečkou:

	A	B	C	D	E
A	—	⚽	⚽	⚽	⚽
B		—	⚽	⚽	⚽
C			—	⚽	⚽
D				—	⚽
E					—

$4 + 3 + 2 + 1 = 10$ zápasov — vychádza rovnako.

Podania rúk a odvety

6 kamarátov si na privítanie podá ruky každý s každým: $6 \cdot 5 : 2 = 15$ podaní.
Skupina 8 tímov, každý s každým raz: $8 \cdot 7 : 2 = 28$ zápasov.
Turnaj 5 hráčov doma aj vonku (odveta): každá dvojica hrá dvakrát, takže nedelíš: $5 \cdot 4 = 20$ zápasov.

Nezabudni deliť dvomi. Pri turnaji 5 hráčov $5 \cdot 4 = 20$ nie je počet zápasov raz každý s každým, lebo každý zápas si zarátal dvakrát. Delíš len vtedy, keď je dvojica A – B to isté ako B – A.

Záleží na poradí?

Z 5 hráčov vyberáte kapitána a zástupcu: $5 \cdot 4 = 20$ možností — Adam kapitán a Bea zástupkyňa je iné ako naopak. Ak však vyberáte len dvojicu, ktorá pôjde po pizzu, je Adam s Beou to isté ako Bea s Adamom: $5 \cdot 4 : 2 = 10$ dvojíc.

Rovnako 2 rôzne príchute zmrzliny do pohára zo 4 druhov: $4 \cdot 3 : 2 = 6$ možností — jahoda s vanilkou je to isté ako vanilka s jahodou.

a) 4 kamaráti si tlesknú dlaňami každý s každým. Koľko tlesknutí? b) V skupine je 7 tímov, každý s každým hrá raz. Koľko zápasov? c) 4 tímy hrajú každý s každým doma aj vonku. Koľko zápasov?

Ukáž riešenie

a) $4 \cdot 3 : 2 =$ 6 tlesknutí (AB, AC, AD, BC, BD, CD) b) $7 \cdot 6 : 2 =$ 21 zápasov c) $4 \cdot 3 =$ 12 zápasov — doma aj vonku sa nedelí

Na záver celý celok v jednej hre — priraď úlohu k výsledku:

Zapamätaj si

Každý s každým raz: počet hráčov krát (počet hráčov − 1), vydelené 2 — pri 5 hráčoch $5 \cdot 4 : 2 = 10$ .
Delíme dvomi, lebo dvojicu A – B a B – A sme zarátali dvakrát.
Doma aj vonku sa nedelí: 5 hráčov → $5 \cdot 4 = 20$ zápasov.
Ak na poradí záleží (kapitán a zástupca), nedelíš; ak nie (dvojica), delíš dvomi.