Priama úmernosť

Na trhu stoja jablká 1,50 € za kilogram. Kúpiš 2 kg — zaplatíš 3 €. Kúpiš 4 kg — 6 €. Babka chce na štrúdľu 6 kg a ty máš v peňaženke 10 €. Stačí to? Odpoveď ti dá priama úmernosť.

Koľkokrát viac, toľkokrát viac

hmotnosť jabĺk $x$ (kg)	1	2	3	4	6
cena $y$ (€)	1,50	3	4,50	6	9

Keď kúpiš 2-krát viac jabĺk, zaplatíš 2-krát viac. Trikrát viac kíl — trikrát vyššia cena. Za 6 kg teda zaplatíš 9 € a 10 € ti stačí.

Dve veličiny sú priamo úmerné, keď koľkokrát sa zväčší (zmenší) jedna, toľkokrát sa zväčší (zmenší) aj druhá.

Ďalšie príklady:

Cyklista ide stále 15 km/h: za 1 h prejde 15 km, za 2 h 30 km, za 3 h 45 km. Dráha je priamo úmerná času.
Zber jabĺk: sused platí 2 € za každú plnú prepravku. Za 5 prepraviek 10 €, za 10 prepraviek 20 €.

Koeficient úmernosti

V tabuľke s jablkami vydeľ cenu hmotnosťou:

\frac{1{,}50}{1} = \frac{3}{2} = \frac{4{,}50}{3} = \frac{6}{4} = 1{,}50

Podiel je stále rovnaký — to je koeficient priamej úmernosti $k$ . Tu znamená cenu za 1 kg.

y = k \cdot x

\text{tu}

y = 1{,}5 \cdot x

Recept na palacinky pre 4 ľudí: 250 g hladkej múky, 500 ml mlieka, 2 vajcia. Koľko treba pre 6 ľudí?

Ľudí je $6 : 4 = 1{,}5$ -krát viac, takže všetkého dáš 1,5-krát viac.
Múka $250 \cdot 1{,}5 = 375$ g, mlieko $500 \cdot 1{,}5 = 750$ ml, vajcia $2 \cdot 1{,}5 = 3$ .
375 g múky, 750 ml mlieka a 3 vajcia.

Graf priamej úmernosti

Keď body z tabuľky nakreslíš do grafu, ležia na jednej priamke, ktorá prechádza bodom 0. Dáva to zmysel: 0 kg jabĺk stojí 0 €.

Body z tabuľky (1 kg → 1,50 €, 2 kg → 3 €, 3 kg → 4,50 €, 4 kg → 6 €, 6 kg → 9 €) ležia na priamke, ktorá vychádza z bodu 0.

Nie všetko, čo spolu rastie, je priama úmernosť. Taxík si zoberie 2 € za nástup a 1 € za každý kilometer: 1 km stojí 3 €, 2 km stoja 4 € — nie dvojnásobok. Aj vek a výška rastú spolu, ale 14-ročný nie je dvakrát vyšší ako 7-ročný.

Trojčlenka

Trojčlenka je zápis, ktorým z troch známych čísel nájdeš štvrté. Pod seba píšeš rovnaké veličiny a šípkami ukážeš, ako spolu súvisia. Prvú šípku nakresli nadol, druhá ukáže vzťah: pri priamej úmernosti ide rovnakým smerom (obe nadol), pri nepriamej opačným.

3 kg jabĺk stoja 4,50 €. Koľko stojí 7 kg?

\left.\begin{array}{r} 3\ \text{kg} \\ 7\ \text{kg} \end{array}\right\downarrow \quad \dots \quad \left.\begin{array}{r} 4{,}50\ \text{€} \\ x\ \text{€} \end{array}\right\downarrow

Viac kíl → viac eur, obe šípky idú nadol (rovnakým smerom): priama úmernosť.
$x = 4{,}50 \cdot \frac{7}{3} = 10{,}50$ €.
Iná cesta cez 1 kg: $4{,}50 : 3 = 1{,}50$ €, potom $7 \cdot 1{,}50 = 10{,}50$ €.
7 kg jabĺk stojí 10,50 €.

Za 3 hodiny pomoci pri zbere jabĺk si dostal 12 €. Koľko dostaneš za 5 hodín, ak sused platí za každú hodinu rovnako?

Ukáž riešenie

Za 1 hodinu $12 : 3 = 4$ €, za 5 hodín $5 \cdot 4 =$ 20 €. Alebo trojčlenkou: $x = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20$ €.

Teraz ty — dráha pri stálej rýchlosti je priamo úmerná času (s ťažšími úrovňami počítaš aj rýchlosť a čas):

Zapamätaj si

Priama úmernosť: koľkokrát sa zväčší jedna veličina, toľkokrát sa zväčší aj druhá.
Podiel $y : x$ je stály, je to koeficient $k$ ; platí $y = k \cdot x$ .
Graf priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza bodom 0.
Priama trojčlenka: šípky rovnakým smerom, napríklad $x = 4{,}50 \cdot \frac{7}{3} = 10{,}50$ €.