Rozdelenie v pomere, postupný pomer

Cez víkend ste s kamarátkou pomáhali susedovi zbierať jablká. Dostali ste spolu 30 € odmenu. Ty si zbieral 3 hodiny, kamarátka 2 hodiny. Rozdeliť to napoly? To by nebolo fér. Spravodlivé je rozdeliť odmenu v pomere 3 : 2.

Rozdelenie v pomere

Postup má tri kroky:

Sčítaj členy pomeru → počet dielov: 3 + 2 = 5.
Vydeľ celok počtom dielov → jeden diel: 30 € : 5 = 6 €.
Vynásob každý člen jedným dielom: ty $3 \cdot 6 = 18$ €, kamarátka $2 \cdot 6 = 12$ €.

Skúška: 18 + 12 = 30 € a 18 : 12 = 3 : 2. Sedí.

Odmena 30 € má 3 + 2 = 5 dielov po 6 €. Tebe patria 3 diely (18 €), kamarátke 2 diely (12 €).

Ďalší príklad: s bratom ste kúpili 1 kg cukríkov, ty si dal 3 €, brat 5 €. V pomere 3 : 5 je 8 dielov po 1 000 g : 8 = 125 g. Ty dostaneš $3 \cdot 125 = 375$ g, brat $5 \cdot 125 = 625$ g.

Pri pomere 3 : 2 nie je jeden diel 30 : 3 ani 30 : 2. Celok sa delí súčtom členov: 30 : (3 + 2). Prvý tak dostane $\frac{3}{5}$ celku, nie $\frac{3}{2}$ .

Postupný pomer

Keď porovnávaš naraz tri veci, zapíšeš postupný pomer $a : b : c$ . Delí sa úplne rovnako — sčítaš všetky členy.

Smoothie: jahody : banán : jogurt = 3 : 2 : 5. Chceš 500 g smoothie. Koľko čoho dáš?

Dielov: 3 + 2 + 5 = 10, jeden diel = 500 g : 10 = 50 g.
Jahody $3 \cdot 50 = 150$ g, banán $2 \cdot 50 = 100$ g, jogurt $5 \cdot 50 = 250$ g.
150 g jahôd, 100 g banánu a 250 g jogurtu. Skúška: 150 + 100 + 250 = 500 g.

Funguje to aj v geometrii: uhly trojuholníka sú v pomere 1 : 2 : 3. Súčet uhlov je 180°, dielov 6, jeden diel 30° → uhly sú 30°, 60° a 90°.

Spojenie dvoch pomerov

Inokedy ste na zbere jabĺk boli traja. Vieš: ty : Ema = 2 : 3 a Ema : Filip = 4 : 5. Ema je v oboch pomeroch — to je spoločný člen. Rozšír pomery tak, aby mala Ema rovnaké číslo (najmenší spoločný násobok 3 a 4 je 12):

ty : Ema = 2 : 3 = 8 : 12 (· 4)
Ema : Filip = 4 : 5 = 12 : 15 (· 3)

Takže ty : Ema : Filip = 8 : 12 : 15. Keď dostanete 70 €, dielov je 35, jeden diel 2 € → ty 16 €, Ema 24 €, Filip 30 €.

Traja kamaráti si rozdelia 45 € v pomere 2 : 3 : 4. Koľko dostane každý?

Ukáž riešenie

Dielov je 2 + 3 + 4 = 9, jeden diel = 45 € : 9 = 5 €. Dostanú 10 €, 15 € a 20 €. Skúška: 10 + 15 + 20 = 45 €.

Zapamätaj si

Rozdelenie v pomere $a : b$ : počet dielov $a + b$ , jeden diel = celok : $(a + b)$ , potom krát $a$ a krát $b$ .
Prvý dostane $\frac{a}{a+b}$ celku — nie $\frac{a}{b}$ .
Postupný pomer $a : b : c$ porovnáva tri veci; delíš súčtom $a + b + c$ .
Dva pomery so spoločným členom spojíš tak, že ich rozšíriš na rovnaké číslo pri spoločnom člene.

Rozdelenie v pomere, postupný pomer