Kruhový výsek, oblúk a odsek

Pizzu s priemerom 32 cm rozkrojíš na 8 rovnakých kúskov. Koľko cm² cesta zješ v jednom kúsku a aký dlhý okraj (kôrku) má? Netreba nový vzorec — stačí vedieť, aká časť kruhu ten kúsok je.

Výsek, oblúk, odsek

Kruhový výsek je časť kruhu medzi dvoma polomermi — presne kúsok pizze krájaný od stredu.
Kruhový oblúk je časť kružnice — okraj (kôrka) toho kúska.
Stredový uhol $\alpha$ je uhol pri strede medzi tými dvoma polomermi.
Kruhový odsek je časť kruhu, ktorú odreže tetiva — ako keď z pizze odkrojíš okraj jedným rovným rezom, ktorý nejde cez stred.

Kúsok pizze je výsek so stredovým uhlom 45°, jeho kôrka je oblúk. Vpravo tetiva odrezala z kruhu odsek.

Aká časť kruhu?

Celý kruh má okolo stredu 360°. Výsek so stredovým uhlom $\alpha$ je $\frac{\alpha}{360°}$ celého kruhu:

kúskov (rovnakých)	stredový uhol	časť kruhu
2	180°	$\frac{1}{2}$ (polkruh)
4	90°	$\frac{1}{4}$ (štvrťkruh)
6	60°	$\frac{1}{6}$
8	45°	$\frac{1}{8}$

Obsah výseku je tá istá časť z obsahu kruhu a dĺžka oblúka tá istá časť z obvodu:

S_v = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}

l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360°}

Pizza $d = 32$ cm, teda $r = 16$ cm, 8 kúskov ( $\alpha = 45°$ , čiže $\frac{1}{8}$ ). Počítame s kalkulačkou (v zátvorke s $3{,}14$ ).

Celá pizza: $S = \pi \cdot 16^2 = 256\pi \approx 804{,}2$ cm² ( $803{,}8$ cm²)
Kúsok: $S_v = 804{,}2 : 8 \approx$ 100,5 cm² ( $100{,}5$ cm²)
Kôrka kúska: $l = 2\pi \cdot 16 : 8 = 4\pi \approx$ 12,6 cm ( $12{,}6$ cm)

Hodiny: uhol a oblúk

Minútová ručička obehne 360° za 60 minút, teda za 1 minútu sa otočí o $360° : 60 = 6°$ .

Minútová ručička má 12 cm. Akú dráhu prejde jej hrot za 20 minút?

Uhol: $20 \cdot 6° = 120°$ , to je $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ kruhu.
Oblúk: $l = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = 8\pi \approx$ 25,1 cm (s $3{,}14$ : $25{,}12$ cm)

Pri výseku sa delí celým kruhom 360°, nie 180° ani 100. A pozor na rozdiel: oblúk je čiara (cm), výsek je plocha (cm²).

Kruhový koláč s priemerom 24 cm rozkrojíš na 6 rovnakých kúskov. Aký je stredový uhol jedného kúska a aký má kúsok obsah? Zaokrúhli na celé cm².

Ukáž riešenie

Uhol: $360° : 6 =$ 60°
$r = 12$ cm, celý koláč: $S = \pi \cdot 144 \approx 452{,}4$ cm²
Kúsok: $452{,}4 : 6 \approx$ 75 cm² (presne $24\pi \approx 75{,}4$ ; s $3{,}14$ : $75{,}36$ )

Teraz ty — obvody a obsahy, v ťažkej úrovni aj kruh:

Zapamätaj si

Výsek = kúsok kruhu medzi dvoma polomermi, oblúk = jeho okraj na kružnici, odsek = časť kruhu odrezaná tetivou.
Rovnaké kúsky: stredový uhol $= 360° : \text{počet kúskov}$ .
$S_v = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}$ , $l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360°}$ — časť obsahu a časť obvodu.
Minútová ručička: $6°$ za minútu.