Obsah kruhu a medzikružie

V pizzerii majú veľkú pizzu s priemerom 40 cm a malú s priemerom 28 cm (obe sú rovnako hrubé). Kamoš tvrdí, že dve malé sú „predsa viac“. Má pravdu? Na to potrebuješ vedieť, koľko cesta je na ploche — teda obsah kruhu.

Odkiaľ je vzorec

Rozkroj pizzu na veľa rovnakých kúskov (výsekov) a polož ich vedľa seba striedavo hrotom hore a hrotom dole. Vznikne útvar, ktorý sa skoro podobá na rovnobežník (čím viac kúskov, tým presnejšie):

jeho výška je polomer $r$ ,
jeho základňa je polovica obvodu: $\frac{2\pi r}{2} = \pi r$ .

Obsah rovnobežníka je základňa krát výška: $\pi r \cdot r = \pi r^2$ .

S = \pi r^2

Polovica kúskov (modré) dá hornú časť, druhá polovica (oranžové) spodnú. Základňa je polovica obvodu, π · r, výška je r, takže obsah je π · r · r = π · r².

Do $S = \pi r^2$ patrí polomer. Keď máš zadaný priemer, najprv ho vydeľ dvomi! A $r^2 = r \cdot r$ , nie $2r$ . Obsah má jednotky na druhú: cm², m².

Pizza: veľká, alebo dve malé?

Počítame s kalkulačkou (v zátvorke s $\pi \approx 3{,}14$ ).

Veľká pizza: $d = 40$ cm, teda $r = 20$ cm

$S = \pi \cdot 20^2 = \pi \cdot 400 \approx$ 1 256,6 cm² ( $1\,256$ cm²)

Malá pizza: $d = 28$ cm, teda $r = 14$ cm

$S = \pi \cdot 14^2 = \pi \cdot 196 \approx 615{,}8$ cm², dve malé $\approx$ 1 231,5 cm² ( $1\,230{,}9$ cm²)

Jedna veľká má o trochu viac cesta než dve malé. Kamoš nemal pravdu — hoci priemer veľkej (40 cm) je oveľa menej než dvojnásobok malej (56 cm).

Prečo? Polomer je vo vzorci na druhú. Dvojnásobný polomer znamená štvornásobný obsah ( $2^2 = 4$ ).

Trampolína má priemer 3 m. Koľko m² záhrady zaberá (celý kruh aj s rámom)?

$r = 1{,}5$ m, $S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 1{,}5^2 = 3{,}14 \cdot 2{,}25 = 7{,}065 \approx$ 7,07 m² (kalkulačka tiež $7{,}07$ m²)

Medzikružie

Medzikružie je plocha medzi dvoma kružnicami so spoločným stredom — ako CD, vinylová platňa, chodník okolo kruhového bazéna alebo vozovka kruhového objazdu. Jeho obsah je veľký kruh mínus malý kruh:

S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)

( $R$ = polomer väčšej kružnice, $r$ = menšej.)

Oranžová plocha je medzikružie. Stred je spoločný, R je polomer veľkej kružnice, r malej.

Chodník okolo bazéna: kruhový bazén má priemer 4 m, okolo neho je chodník široký 1 m. Aký veľký je chodník?

$r = 4 : 2 = 2$ m (bazén), $R = 2 + 1 = 3$ m (bazén s chodníkom)
$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (9 - 4) = 5\pi \approx$ 15,7 m²

$\pi(R^2 - r^2)$ nie je $\pi(R - r)^2$ . Pri bazéne: $\pi (3 - 2)^2 = \pi \approx 3{,}14$ m² — to je obsah kruhu s polomerom 1 m, nie chodníka.

CD má priemer 12 cm a dierku v strede s priemerom 1,5 cm. Aký je obsah plochy CD (bez dierky)? Zaokrúhli na celé cm².

Ukáž riešenie

$R = 6$ cm, $r = 0{,}75$ cm. $S = \pi(6^2 - 0{,}75^2) = \pi(36 - 0{,}5625) = \pi \cdot 35{,}4375 \approx$ 111 cm² (kalkulačka $111{,}33$ , s $3{,}14$ vyjde $111{,}27$ ).

Teraz ty — obvody a obsahy útvarov, v ťažkej úrovni aj pizza:

Zapamätaj si

Obsah kruhu: $S = \pi r^2$ — dosadzuješ polomer, nie priemer; jednotky cm², m².
Dvojnásobný polomer = štvornásobný obsah.
Medzikružie: $S = \pi(R^2 - r^2)$ , nie $\pi(R - r)^2$ .
Napíš, či počítaš s $3{,}14$ alebo s kalkulačkou.