Číslo π a obvod kruhu

Koleso tvojho bicykla má priemer 70 cm. Keď sa raz celé otočí, bicykel sa posunie o kus dopredu — o koľko? Odpoveď skrýva najslávnejšie číslo matematiky: π (čítaj „pí“).

Pokus: obvod verzus priemer

Zober krajčírsky meter (alebo špagát a pravítko) a zmeraj na okrúhlych veciach dve dĺžky: obvod (okolo dokola) a priemer (cez stred). Potom obvod vydeľ priemerom.

vec	priemer $d$	obvod $o$	$o : d$
plechovka	6,6 cm	20,7 cm	≈ 3,14
hrnček	8,0 cm	25,2 cm	≈ 3,15
tanier	24,0 cm	75,4 cm	≈ 3,14

Nech meriaš čokoľvek okrúhle — malé aj veľké — podiel vyjde vždy trochu viac ako 3. (Malé rozdiely sú len nepresnosť merania.) Toto číslo je pre každý kruh rovnaké a volá sa π:

\pi = \frac{o}{d} \approx 3{,}14

Prečo len „približne“

Číslo π má za desatinnou čiarkou nekonečne veľa číslic a nemajú žiadnu pravidelnosť — nikdy sa nezačnú opakovať dookola, ako pri $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Je to $\pi = 3{,}14159\ldots$ Presne ho preto ako desatinné číslo nezapíšeš nikdy. Pri počítaní máš dve možnosti:

$\pi \approx 3{,}14$ — keď počítaš na papieri,
tlačidlo π na kalkulačke — je presnejšie.

Výsledky sa môžu líšiť v poslednej číslici. Obe sú v poriadku, ak napíšeš, s čím počítaš.

$\pi$ nie je presne 3,14. Píš preto $o \approx 75{,}4$ cm (znak $\approx$ = približne), nie „=“, keď si zaokrúhľoval.

Vzorec pre obvod

Z $\pi = \frac{o}{d}$ vyjadríš obvod (opačná operácia k deleniu je násobenie). A keďže $d = 2r$ :

o = \pi \cdot d = 2 \pi r

Obvodu kruhu sa hovorí aj dĺžka kružnice — je to dĺžka tej okrajovej čiary.

Keď kružnicu s priemerom d rozvinieš na rovnú čiaru, zmestia sa do nej tri priemery a ešte kúsok — spolu približne 3,14 · d.

Koleso bicykla má priemer $d = 70$ cm $= 0{,}7$ m. Koľko prejde bicykel na jedno otočenie?

s $\pi \approx 3{,}14$ : $o = 3{,}14 \cdot 0{,}7\,\mathrm{m} = 2{,}198\,\mathrm{m} \approx$ 2,2 m
s kalkulačkou: $o = \pi \cdot 0{,}7\,\mathrm{m} = 2{,}1991\ldots\,\mathrm{m} \approx$ 2,2 m

Na 1 km ( $1\,000$ m) sa koleso otočí približne $1\,000 : 2{,}2 \approx 455$ -krát.

Hodiny: minútová ručička má 15 cm. Akú dráhu prejde jej hrot za hodinu?

Hrot obehne celú kružnicu s polomerom $r = 15$ cm:

$o = 2 \pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 15\,\mathrm{cm} =$ 94,2 cm (kalkulačka: $94{,}25$ cm)

Z obvodu späť na priemer

Keď poznáš obvod, priemer dostaneš delením: $d = \dfrac{o}{\pi}$ .

Strom v parku má obvod kmeňa 157 cm (zmeraš ho špagátom). Aký hrubý je kmeň?

$d = \dfrac{o}{\pi} = \dfrac{157\,\mathrm{cm}}{3{,}14} =$ 50 cm (kalkulačka: $49{,}97$ cm, teda tiež asi 50 cm)

Auto ide po vonkajšom okraji kruhového objazdu s polomerom 20 m. Koľko metrov prejde za jedno celé kolo?

Ukáž riešenie

$o = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 20\,\mathrm{m} =$ 125,6 m (kalkulačka: $125{,}66$ m, teda asi $125{,}7$ m).

Pneumatika kolobežky má priemer 20 cm. Koľkokrát sa koleso otočí na trase 314 m?