Druhá a tretia odmocnina

Každý výpočet strany v Pytagorovej vete končí odmocninou. Aj v živote často poznáš plochu, ale nie dĺžku. Trávnik tvaru štvorca má $64\,\mathrm{m^2}$ . Koľko metrov má jeho strana? Hľadáš číslo, ktoré po umocnení na druhú dá 64. To je $8$ , lebo $8^2 = 64$ . Táto „mocnina naopak“ sa volá odmocnina.

Druhá odmocnina

Štvorec má obsah $49\,\mathrm{m^2}$ . Jeho strana je $\sqrt{49} = 7\,\mathrm{m}$ , lebo $7^2 = 49$ .

Druhá odmocnina z nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je $a$ . Píšeme $\sqrt{a}$ .

\sqrt{49} = 7, \text{ lebo } 7^2 = 49 \text{ a } 7 \ge 0

Pomôže ti tabuľka druhých mocnín z minulej lekcie: $\sqrt{144} = 12$ , $\sqrt{225} = 15$ , $\sqrt{400} = 20$ .

Aj $(-7)^2 = 49$ , ale $\sqrt{49}$ je podľa dohody len kladné číslo $7$ — dĺžka strany tiež nie je záporná. A $\sqrt{-49}$ medzi číslami, ktoré poznáš, neexistuje: žiadne číslo na druhú nedá záporný výsledok.

Tretia odmocnina

Tretia odmocnina z čísla $a$ je číslo, ktorého tretia mocnina je $a$ . Píšeme $\sqrt[3]{a}$ .

\sqrt[3]{64} = 4, \text{ lebo } 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

Hodí sa pri kocke: poznáš objem, hľadáš hranu.

Akvárium tvaru kocky má objem 125 l, teda $125\,\mathrm{dm^3}$ . Hrana: $\sqrt[3]{125} = 5\,\mathrm{dm}$ .
Nádrž tvaru kocky na 1 000 l ( $1\,\mathrm{m^3}$ ) má hranu $\sqrt[3]{1\,000} = 10\,\mathrm{dm} = 1\,\mathrm{m}$ .

Odhad: medzi ktorými číslami?

Väčšina odmocnín nevyjde celým číslom. Pred kalkulačkou si urob odhad pomocou susedných druhých mocnín.

$7^2 = 49$ je tesne pod 50 a $8^2 = 64$ je ďaleko nad ním. Preto $\sqrt{50}$ leží medzi 7 a 8, veľmi blízko k 7.

Pozemok tvaru štvorca má $200\,\mathrm{m^2}$ . Koľko metrov plotu treba okolo neho?

Odhad: $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ → strana je o kúsok viac ako 14 m.
Kalkulačka: $a = \sqrt{200} \approx 14{,}14\,\mathrm{m}$ .
Plot: $o = 4a \approx 4 \cdot 14{,}142 \approx$ 56,6 m (počítaj s nezaokrúhlenou hodnotou z kalkulačky).

Odmocnina z desatinných čísel a zlomkov

$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ , lebo $0{,}5^2 = 0{,}25$ .
$\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ , lebo $0{,}3^2 = 0{,}09$ .
$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ — odmocníš čitateľ aj menovateľ.
$\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$ , lebo $0{,}2^3 = 0{,}008$ .

$\sqrt{0{,}4}$ nie je $0{,}2$ — skúška: $0{,}2^2 = 0{,}04$ . Správne $\sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63$ .

A súčet sa po kúskoch neodmocňuje: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , nie $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Na tejto chybe padá veľa úloh s Pytagorovou vetou.

a) $\sqrt{144}$ b) $\sqrt[3]{27}$ c) $\sqrt{1{,}44}$ d) Medzi ktorými celými číslami leží $\sqrt{30}$ ? Over kalkulačkou.

Ukáž riešenie

a) 12, lebo $12^2 = 144$ b) 3, lebo $3^3 = 27$ c) 1,2, lebo $1{,}2^2 = 1{,}44$ d) $5^2 = 25 < 30 < 36 = 6^2$ → medzi 5 a 6; kalkulačka $\sqrt{30} \approx 5{,}48$

Teraz ty — mocniny aj odmocniny na preskáčku:

Zapamätaj si

$\sqrt{a}$ je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je $a$ : $\sqrt{49} = 7$ .
$\sqrt[3]{a}$ je číslo, ktorého tretia mocnina je $a$ : $\sqrt[3]{64} = 4$ .
Strana štvorca $a = \sqrt{S}$ , hrana kocky $a = \sqrt[3]{V}$ .
Odhad cez susedné mocniny: $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ , teda $\sqrt{50}$ je medzi 7 a 8.
$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ , nie 7.