Druhá a tretia mocnina

Mocniny potrebuješ hneď v ďalšom celku, lebo Pytagorova veta je celá o druhých mocninách. Objavujú sa aj v Testovaní 9, pri obsahu a objeme. Štvorcová izba so stranou 4 m má podlahu $4 \cdot 4 = 16\,\mathrm{m^2}$ . Kocka z malých kociek 3 × 3 × 3 má spolu $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ kociek. Oba výpočty sa dajú zapísať kratšie — ako mocninu.

Čo je mocnina

Mocnina je skrátený zápis násobenia rovnakých činiteľov:

5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Základ (mocnenec) = číslo, ktoré násobíš: tu $5$ .
Exponent (mocniteľ) = koľkokrát ho napíšeš do súčinu: tu $3$ .

$5^2$ čítaj „päť na druhú“, $5^3$ „päť na tretiu“. Exponent môže byť aj väčší. Video pošleš 2 kamarátom, každý z nich ho pošle ďalším dvom a tak ďalej. V piatom kole ho dostane $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ nových ľudí.

$5^3$ nie je $5 \cdot 3 = 15$ . Exponent hovorí, koľkokrát násobíš päťku samu sebou: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .

Druhá mocnina = obsah štvorca

Štvorec so stranou 4 m sa dá rozdeliť na 4 rady po 4 štvorčekoch, teda $4^2 = 16$ štvorčekov po $1\,\mathrm{m^2}$ .

Obsah štvorca so stranou $a$ je $S = a^2$ — preto sa druhej mocnine hovorí aj „na štvorec“. Tieto sa oplatí vedieť naspamäť:

$a$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$a^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Aj desatinné čísla: $0{,}5^2 = 0{,}25$ , $1{,}2^2 = 1{,}44$ . Okrúhle desiatky: $20^2 = 400$ , $30^2 = 900$ — dve nuly navyše.

Krabica od pizze má štvorcové dno so stranou 30 cm. Aký veľký je jej spodok?

$S = 30^2 = 30 \cdot 30 =$ 900 cm²

Tretia mocnina = objem kocky

Kocka s hranou 3 má 3 vrstvy, v každej $3 \cdot 3 = 9$ kociek. Spolu $3^3 = 27$ kociek.

Objem kocky s hranou $a$ je $V = a^3$ — „na kocku“. Tretie mocniny od 1 po 10:

$a$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$a^3$	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1 000

Darčeková krabica tvaru kocky má hranu 2 dm. Koľko litrov sa do nej zmestí?

$V = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\,\mathrm{dm^3} =$ 8 l (lebo $1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}$ )

Záporné čísla, zlomky a desatinné čísla

Pri mocnení platia pravidlá o znamienkach z 8. ročníka:

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ — párny počet mínusov dá plus.
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ — nepárny počet mínusov dá mínus.
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$ — umocníš čitateľ aj menovateľ.
$0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$ — desatinných miest je 3 · 1 = 3.

$(-3)^2 = 9$ , ale $-3^2 = -9$ . Bez zátvorky sa umocní len trojka a mínus ostane pred ňou: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ . Na kalkulačke preto záporné číslo pri mocnení vždy daj do zátvorky.

Mocnina v príklade: poradie operácií

Mocnina má prednosť pred násobením aj sčítaním — hneď po zátvorkách:

$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$
$(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$
$3 + 4^2 = 3 + 16 = 19$

Na kalkulačke je kláves $x^2$ (niekde aj $x^3$ alebo $x^y$ / $\wedge$ ). Než stlačíš „=“, odhadni: $4{,}5^2$ musí byť medzi $4^2 = 16$ a $5^2 = 25$ .

Vypočítaj bez kalkulačky: a) $6^2$ b) $(-5)^3$ c) $0{,}4^2$ d) $5 \cdot 2^3$

Ukáž riešenie

a) $6 \cdot 6 =$ 36 b) $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) =$ −125 (tri mínusy) c) $0{,}4 \cdot 0{,}4 =$ 0,16 d) najprv mocnina: $5 \cdot 8 =$ 40

Teraz ty — 10 príkladov s postupom:

Zapamätaj si

$a^n$ = súčin $n$ rovnakých činiteľov $a$ ; $a$ je základ, $n$ exponent: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .
Druhá mocnina = obsah štvorca $S = a^2$ , tretia mocnina = objem kocky $V = a^3$ .
$(-3)^2 = 9$ , ale $-3^2 = -9$ ; $(-2)^3 = -8$ .
Mocnina sa počíta pred násobením a sčítaním: $2 \cdot 3^2 = 18$ .

Druhá a tretia mocnina

Čo je mocnina

Druhá mocnina = obsah štvorca

Tretia mocnina = objem kocky

Záporné čísla, zlomky a desatinné čísla

Mocnina v príklade: poradie operácií

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí