Premeny mechanickej energie

Ako rýchlo dopadneš na trampolínu — a prečo na tom nezáleží, koľko vážiš?

Na trampolíne vyletíš hore, na chvíľu sa zastavíš vo vzduchu a padáš späť. Plachta ťa znova vystrelí. Energia sa pritom neustále mení z jednej podoby na druhú — ale jej súčet ostáva rovnaký. Vďaka tomu vypočítaš rýchlosť dopadu bez jediného vzorca o zrýchlení.

Zákon zachovania mechanickej energie

Mechanická energia telesa je súčet kinetickej a potenciálnej energie: $E = E_k + E_p$ .

Ak na teleso pôsobí len tiaž (alebo pružnosť), nie je tam trenie ani odpor vzduchu a nikto ho nepoháňa ani nebrzdí, platí zákon zachovania mechanickej energie:

E_k + E_p = \text{konšt.}

Energia nevzniká ani nezaniká, len sa premieňa. Čo ubudne z potenciálnej, pribudne v kinetickej — a naopak.

Príklady: mobil padá zo stola — $E_p$ klesá, $E_k$ rastie. Lopta vyhodená nahor spomaľuje — $E_k$ sa mení na $E_p$ . Hojdačka robí oboje dookola.

Skokan s hmotnosťou 50 kg vyskočí 1,2 m nad plachtu. Modrá je potenciálna, oranžová kinetická energia — ich súčet je v každej výške 588,6 J.

Rýchlosť z výšky (a naopak)

Teleso padá z výšky $h$ z pokoja. Hore má len $E_p = mgh$ , dole len $E_k = \tfrac12 mv^2$ . Zo zákona zachovania:

mgh = \tfrac12 mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh}

Hmotnosť sa vykrátila — rýchlosť dopadu nezávisí od toho, koľko vážiš.

Trampolína: vyskočíš 1,2 m nad plachtu. Akou rýchlosťou na ňu dopadneš?

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \cdot 1{,}2\,\mathrm{m}}$
$v \approx 4{,}85\,\mathrm{m/s}$ (asi 17 km/h)

Opačne: loptu vyhodíš zvislo nahor rýchlosťou 10 m/s. Vystúpi do výšky $h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{10^2}{2 \cdot 9{,}81}\,\mathrm{m} \approx 5{,}1\,\mathrm{m}$ .

Skúška správnosti: v celku Pohyb si rýchlosť pri voľnom páde rátal cez $v = gt$ . Mobil spadne z 0,8 m za 0,40 s → $v \approx 9{,}81 \cdot 0{,}404 \approx 3{,}96\,\mathrm{m/s}$ . Cez energiu: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}8} \approx 3{,}96\,\mathrm{m/s}$ . Dve cesty, rovnaký výsledok.

Kam sa energia „stratí“

V skutočnosti lopta pustená z výšky 1 m odskočí napríklad len do 0,64 m. Mechanickej energie jej ubudlo 36 % ( $E_p$ je úmerná výške). Nezanikla — pri náraze a pri pohybe vzduchom sa zmenila na vnútornú energiu (lopta, podlaha aj vzduch sa nepatrne zahrejú) a na zvuk.

Rovnako brzdy bicykla: kinetická energia sa trením mení na vnútornú energiu — preto sú brzdové kotúče po zjazde z kopca horúce.

Zákon zachovania mechanickej energie teda platí len bez trenia a odporu. Celková energia (aj s vnútornou) sa však zachováva vždy, ak započítaš všetko, na čo sa premenila.

Energia pružného telesa

Natiahnutá alebo stlačená pružina, gumička či plachta trampolíny tiež má energiu — potenciálnu energiu pružného telesa. Na natiahnutie pružiny o $\Delta l$ treba silu $F = k\,\Delta l$ (dvojnásobné predĺženie = dvojnásobná sila), ktorá rastie od nuly. Práca sa preto rovná ploche trojuholníka pod grafom:

E_p = \tfrac12 k(\Delta l)^2

$k$ je tuhosť pružiny (N/m), $\Delta l$ predĺženie (m).

Expander s tuhosťou 400 N/m natiahnutý o 0,5 m: sila narastie od 0 do 200 N a uložená energia je plocha trojuholníka, 50 J.

Posilňovňa: expander má tuhosť $k = 400\,\mathrm{N/m}$ , natiahneš ho o $\Delta l = 0{,}5\,\mathrm{m}$ .

$E_p = \tfrac12 k(\Delta l)^2 = \tfrac12 \cdot 400\,\mathrm{N/m} \cdot (0{,}5\,\mathrm{m})^2$
$E_p = 50\,\mathrm{J}$

Pri trampolíne je to podobné: v najnižšom bode skoku je takmer všetka energia uložená v natiahnutých pružinách a plachte. Tie ju vrátia a vystrelia ťa späť hore.

Typické chyby: v $E_p = \tfrac12 k(\Delta l)^2$ zabudnúť umocniť predĺženie (dvojnásobné natiahnutie = štvornásobná energia) a dosadiť ho v centimetroch. A pri $v = \sqrt{2gh}$ nezabudni na odmocninu.

Skateboardista sa bez odrazenia spustí z okraja U-rampy vysokej 2 m. Akú rýchlosť má na jej dne (trenie zanedbaj)?

Ukáž riešenie

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2}\,\mathrm{m/s} \approx$ $6{,}26\,\mathrm{m/s}$ (asi 22,6 km/h). Bez trenia by vyšiel na druhej strane opäť presne do 2 m.

Zapamätaj si

Mechanická energia: $E = E_k + E_p$ ; bez trenia a odporu je stála (zákon zachovania).
Pri páde z výšky $h$ : $v = \sqrt{2gh}$ — nezávisí od hmotnosti.
Trením a odporom sa mechanická energia mení na vnútornú; celková energia sa zachováva.
Pružné teleso: $E_p = \tfrac12 k(\Delta l)^2$ .

Premeny mechanickej energie

Zákon zachovania mechanickej energie

Rýchlosť z výšky (a naopak)

Kam sa energia „stratí“

Energia pružného telesa

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí