Pružinový oscilátor a kyvadlo; rezonancia

Na hojdačke sa rozhojdáš, len keď sa odrážaš v správnom rytme — ani rýchlejšie, ani pomalšie. Ten rytmus nevyberáš ty, určuje ho dĺžka reťazí. V tejto lekcii zistíš, od čoho závisí perióda pružiny a kyvadla a prečo „trafiť rytmus“ môže hojdačku rozhojdať, ale práčku roztriasť.

Pružinový oscilátor

Závažie s hmotnosťou $m$ na pružine s tuhosťou $k$ (v $\mathrm{N/m}$ ). Pružina ťahá späť silou $F = -ky$ — čím väčšia výchylka, tým väčšia sila, vždy proti výchylke. Z $F = ma$ dostaneš $a = -\tfrac{k}{m}\,y$ , a to je presne $a = -\omega^2 y$ z minulej lekcie:

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Ťažšie závažie kmitá pomalšie, tuhšia pružina rýchlejšie. Amplitúda periódu nemení. Takúto periódu (a frekvenciu) má oscilátor sám od seba — volá sa vlastná.

Závažie 200 g predĺži pružinu o 5 cm. Aká je perióda, keď ho rozkmitáš?

V rovnováhe $mg = k\,\Delta l$ : $k = \dfrac{0{,}2\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}{0{,}05\,\mathrm{m}} = 39{,}24\,\mathrm{N/m}$
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2\,\mathrm{kg}}{39{,}24\,\mathrm{N/m}}}$ , teda $T \approx 0{,}45\,\mathrm{s}$ ( $f \approx 2{,}2\,\mathrm{Hz}$ )

Kyvadlo

Matematické kyvadlo = malé závažie na tenkom vlákne s dĺžkou $l$ . Pre malé výchylky (niekoľko stupňov) platí:

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Perióda nezávisí od hmotnosti závažia ani od (malej) amplitúdy — závisí len od dĺžky a od $g$ . Kyvadlo s dĺžkou 1 m má $T = 2\pi\sqrt{1 : 9{,}81} \approx 2{,}01\,\mathrm{s}$ , s dĺžkou 25 cm má polovičnú periódu $\approx 1{,}00\,\mathrm{s}$ . Štyrikrát kratšie = dvakrát rýchlejšie.

Pružinový oscilátor (perióda závisí od $m$ a $k$ ) a kyvadlo (perióda závisí od $l$ a $g$ ).

Hmotnosť áno, či nie? Pri pružine ťažšie závažie periódu zväčší, pri kyvadle ju nezmení. Pri kyvadle s hmotnosťou rastie tiažová sila aj zotrvačnosť rovnako, preto sa vykrátia. A $l$ meraj od závesu po stred závažia, nie po jeho spodok.

Energia a tlmené kmitanie

Pri kmitaní sa energia stále premieňa: v krajnej polohe je všetko potenciálna energia (pružnosti alebo tiažová), v rovnovážnej polohe všetko kinetická. Pre pružinový oscilátor bez strát:

E = \tfrac12 k y_m^2 = \tfrac12 m v_m^2

Napr. $k = 40\,\mathrm{N/m}$ , $y_m = 0{,}1\,\mathrm{m}$ , $m = 0{,}4\,\mathrm{kg}$ : $E = \tfrac12 \cdot 40 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}2\,\mathrm{J}$ a $v_m = y_m\sqrt{k/m} = 0{,}1 \cdot 10 = 1\,\mathrm{m/s}$ (skúška: $\tfrac12 \cdot 0{,}4 \cdot 1^2 = 0{,}2\,\mathrm{J}$ ).

V skutočnosti trenie a odpor vzduchu energiu uberajú a amplitúda klesá — kmitanie je tlmené. Tlmiče v aute alebo na e-kolobežke ho tlmia zámerne, aby sa vozidlo po jame dlho nehojdalo.

Vynútené kmitanie a rezonancia

Keď na oscilátor pôsobí periodická budiaca sila, kmitá s frekvenciou tejto sily — to je vynútené kmitanie. Ak sa budiaca frekvencia blíži k vlastnej frekvencii oscilátora, amplitúda je najväčšia. To je rezonancia.

Užitočná: hojdačku rozhojdáš, keď sa odrážaš raz za periódu; ozvučnica gitary zosilní tón struny; rádio sa „naladí“ na stanicu rezonanciou elektrického obvodu.
Škodlivá: práčka sa pri istých otáčkach odstreďovania roztrasie, nevyvážené koleso auta vibruje najviac pri istej rýchlosti, preto ho v servise vyvažujú. Vojaci cez most nepochodujú v kroku — rytmus by mohol rozkmitať most.

🧪 Pokus: od čoho závisí perióda kyvadla

Pomôcky: šnúrka, dve rovnaké matice alebo kľúče, meter, stopky v mobile. Urob kyvadlo s dĺžkou 1 m (od závesu po stred matice), vychýľ ho len o pár centimetrov a odmeraj čas 10 kmitov. Potom (a) zaves dve matice namiesto jednej, (b) skráť šnúrku na 25 cm, (c) vychýľ kyvadlo viac, ale stále málo. Vždy odmeraj 10 kmitov a porovnaj.

Čo by ti malo vyjsť

Pri 1 m: 10 kmitov asi za 20 s ( $T \approx 2{,}01\,\mathrm{s}$ ). Dve matice: takmer rovnako. 25 cm: asi za 10 s ( $T \approx 1{,}00\,\mathrm{s}$ ) — štvrtinová dĺžka, polovičná perióda. Väčšia malá výchylka: takmer bez zmeny. Z $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ si môžeš vypočítať tiažové zrýchlenie; malo by ti vyjsť blízko $9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ .

Pružina s tuhosťou 50 N/m a závažie 0,5 kg. Aká je perióda? Čo sa stane s periódou, keď závažie vymeníš za 2 kg?

Ukáž riešenie

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}5}{50}} = 2\pi \cdot 0{,}1 \approx$ $0{,}63\,\mathrm{s}$ . Hmotnosť 4-krát väčšia → perióda $\sqrt{4} = 2$ -krát väčšia, $\approx 1{,}26\,\mathrm{s}$ .

Teraz ty: čo sa stane s periódou?

A počítaj — chyť správnu periódu:

Zapamätaj si

Pružinový oscilátor: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ — závisí od hmotnosti a tuhosti, nie od amplitúdy.
Kyvadlo (malé výchylky): $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ — nezávisí od hmotnosti ani od amplitúdy.
Energia kmitania $E = \tfrac12 k y_m^2$ sa premieňa medzi potenciálnou a kinetickou; pri tlmenom kmitaní amplitúda klesá.
Rezonancia: budiaca frekvencia = vlastná frekvencia → najväčšia amplitúda.

Pružinový oscilátor a kyvadlo; rezonancia