Kmitavý pohyb: perióda, frekvencia, amplitúda

Srdce ti bije asi 75-krát za minútu, membrána reproduktora sa pri hlbokom tóne chveje stokrát za sekundu a napätie v zásuvke prebehne 50 celých kmitov za sekundu. Všetko sú to kmity — pohyb, ktorý sa stále opakuje okolo jednej polohy. Za 10 minút ich budeš vedieť opísať tromi číslami.

Kmitavý pohyb

Teleso, ktoré kmitá, voláme oscilátor (závažie na pružine, kyvadlo, struna, hojdačka). Kmitá okolo rovnovážnej polohy — tam by v pokoji zostalo stáť.

Výchylka $y$ — okamžitá vzdialenosť od rovnovážnej polohy (kladná na jednu stranu, záporná na druhú).
Amplitúda $y_m$ — najväčšia výchylka. Jednotka meter.

Kmitanie je periodické: po istom čase je oscilátor znova v rovnakom stave (rovnaká výchylka, rovnaký smer pohybu).

Graf výchylky od času: amplitúda $y_m$ je výška „vlny“ od osi, perióda $T$ je čas jedného celého kmitu.

Perióda a frekvencia

Perióda $T$ je čas jedného kmitu (tam a späť), v sekundách. Frekvencia $f$ je počet kmitov za sekundu:

f = \frac{1}{T},

[f] = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}\ (\text{hertz})

Ak napočítaš $n$ kmitov za čas $t$ , potom $T = \dfrac{t}{n}$ a $f = \dfrac{n}{t}$ .

Srdce 75 úderov za minútu: $T = 60 : 75 = 0{,}8\,\mathrm{s}$ , $f = 1{,}25\,\mathrm{Hz}$ .
Sieť 50 Hz: $T = \tfrac{1}{50}\,\mathrm{s} = 0{,}02\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ .
Komorné „a“ (440 Hz): $T = \tfrac{1}{440}\,\mathrm{s} \approx 2{,}27\,\mathrm{ms}$ .

Hojdačka urobí 10 kmitov za 25 s. Aká je perióda a frekvencia?

$T = \dfrac{t}{n} = \dfrac{25\,\mathrm{s}}{10}$ , teda $T = 2{,}5\,\mathrm{s}$
$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2{,}5\,\mathrm{s}}$ , teda $f = 0{,}4\,\mathrm{Hz}$

Amplitúda nie je vzdialenosť krajných polôh. Ak kyvadlo kmitá medzi bodmi vzdialenými 10 cm, amplitúda je 5 cm. A za jednu periódu prejde oscilátor dráhu $4y_m$ (zo stredu do kraja, späť, na druhý kraj a späť), nie $y_m$ .

Harmonické kmitanie

Najjednoduchšie kmitanie má graf sínusoidy — volá sa harmonické. Dostaneš ho, keď sa bod rovnomerne pohybuje po kružnici s polomerom $y_m$ a ty sleduješ len jeho tieň na zvislej osi. Uhol, ktorý bod prejde, je fáza $\varphi = \omega t + \varphi_0$ :

y = y_m \sin(\omega t + \varphi_0),

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

$\omega$ je uhlová frekvencia v $\mathrm{rad/s}$ ( $\mathrm{s^{-1}}$ ), $\varphi_0$ je začiatočná fáza (fáza v čase $t = 0$ ).

Oscilátor kmitá s amplitúdou $y_m = 4\,\mathrm{cm}$ a frekvenciou $f = 2\,\mathrm{Hz}$ , $\varphi_0 = 0$ . Aká je výchylka v čase $t = \tfrac{1}{16}\,\mathrm{s}$ ?

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2\,\mathrm{Hz} = 4\pi\,\mathrm{rad/s} \approx 12{,}57\,\mathrm{rad/s}$
$\omega t = 4\pi \cdot \tfrac{1}{16} = \tfrac{\pi}{4}\,\mathrm{rad} = 45°$
$y = 4\,\mathrm{cm} \cdot \sin 45°$ , teda $y \approx 2{,}83\,\mathrm{cm}$

Over si to: v kalkulačke nižšie je „sila“ $F$ tvoja amplitúda (zadaj 4, jednotku N ignoruj) a uhol $\alpha$ je fáza $\omega t$ v stupňoch. Zvislá zložka $F_y = F \sin\alpha$ je presne výchylka $y$ . Skús fázy 90°, 180°, 270° a 360°: $F_y$ prejde hodnoty 4, 0, −4, 0 — to sú výchylky počas jedného celého kmitu. (Kalkulačka kreslí otáčajúci sa vektor a jeho tieň na zvislej osi, nie graf $y(t)$ .)

Kalkulačka v stupňoch, alebo v radiánoch? $\sin 30°$ je $0{,}5$ , ale $\sin(30\,\mathrm{rad}) \approx -0{,}99$ . Keď dosadzuješ $\omega t$ v radiánoch (napr. $\tfrac{\pi}{4}$ ), prepni kalkulačku na RAD.

Rýchlosť a zrýchlenie oscilátora

V rovnovážnej polohe je rýchlosť najväčšia: $v_m = \omega y_m$ . Zrýchlenie je tam nulové.
V krajnej polohe sa oscilátor na okamih zastaví ( $v = 0$ ), ale zrýchlenie je tam najväčšie a mieri späť do rovnovážnej polohy.
Pre zrýchlenie platí $a = -\omega^2 y$ — znamienko mínus znamená „vždy proti výchylke“.

Pre náš oscilátor ( $y_m = 0{,}04\,\mathrm{m}$ , $\omega \approx 12{,}57\,\mathrm{rad/s}$ ): $v_m = \omega y_m \approx 0{,}50\,\mathrm{m/s}$ .

Elektro: napätie v zásuvke sa mení presne ako harmonické kmitanie, $u = U_m \sin \omega t$ , s frekvenciou $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , teda $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\,\mathrm{rad/s}$ . Všetko, čo sa tu naučíš o $T$ , $f$ a $\omega$ , použiješ pri striedavom prúde.

🧪 Pokus: kyvadlo z kľúčov

Pomôcky: šnúrka asi 50 cm, zväzok kľúčov, stopky v mobile. Priviaž kľúče na šnúrku, druhý koniec drž pevne (alebo pripevni na kľučku). Vychýľ kľúče len trochu (o pár centimetrov) a pusti. Odmeraj čas 10 kmitov a vypočítaj $T = t : 10$ a $f = 1 : T$ . Prečo 10 a nie 1? Chyba tvojej reakcie (asi 0,2 s) sa rozdelí na 10 kmitov. Potom skús väčšiu výchylku a ťažší zväzok — zmení sa perióda?

Čo by ti malo vyjsť

Pri šnúrke 50 cm vyjde perióda okolo 1,4 s (napr. 10 kmitov za 14,2 s → $T = 1{,}42\,\mathrm{s}$ , $f \approx 0{,}70\,\mathrm{Hz}$ ). Pri malých výchylkách sa perióda takmer nemení s výchylkou ani s hmotnosťou kľúčov — prečo, zistíš v ďalšej lekcii.

Membrána reproduktora kmitá s frekvenciou 200 Hz a amplitúdou 1 mm. Aká je perióda a akú dráhu prejde membrána za 1 sekundu?

Ukáž riešenie

$T = \dfrac{1}{200}\,\mathrm{s} =$ $5\,\mathrm{ms}$ . Za 1 s urobí 200 kmitov, za každý prejde $4y_m = 4\,\mathrm{mm}$ , spolu $200 \cdot 4\,\mathrm{mm} =$ $800\,\mathrm{mm} = 0{,}8\,\mathrm{m}$ .

Teraz ty: priraď pojem k tomu, čo znamená.

A rýchlo počítaj — chyť správnu odpoveď:

Zapamätaj si

Kmitavý pohyb sa opakuje okolo rovnovážnej polohy; $y$ = výchylka, $y_m$ = amplitúda (najväčšia výchylka).
Perióda $T$ = čas jedného kmitu, frekvencia $f = \dfrac{1}{T}$ v hertzoch.
Harmonické kmitanie: $y = y_m \sin(\omega t + \varphi_0)$ , $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ .
Najväčšia rýchlosť $v_m = \omega y_m$ je v rovnovážnej polohe, najväčšie zrýchlenie v krajných polohách ( $a = -\omega^2 y$ ).

Kmitavý pohyb: perióda, frekvencia, amplitúda

Kmitavý pohyb

Perióda a frekvencia

Harmonické kmitanie

Rýchlosť a zrýchlenie oscilátora

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí