Archimedov zákon a plávanie telies

Vo vode unesieš kamaráta na rukách, na suchu sotva. Oceľový klinec klesne ku dnu, ale oceľová loď s tisíckami ton nákladu pláva. A balónik s héliom ti uletí z ruky. Za všetkým je jedna sila — vztlaková.

Odkiaľ sa berie vztlak

Ponor do vody kocku s podstavou $S$ a výškou $a$ . Horná stena je v hĺbke $h_1$ , dolná v hĺbke $h_2 = h_1 + a$ . Na hornú stenu tlačí voda nadol silou $F_1 = h_1\rho g S$ , na dolnú nahor silou $F_2 = h_2\rho g S$ . Dolná stena je hlbšie, takže $F_2 > F_1$ . Sily na bočné steny sa navzájom rušia.

Dolná stena je hlbšie, tlak na ňu je väčší — výsledkom je sila nahor.

Rozdiel je vztlaková sila: $F_{vz} = F_2 - F_1 = (h_2 - h_1)\rho g S = aS\rho g = V\rho g$ .

Archimedov zákon

Teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované vztlakovou silou, ktorá sa rovná tiaži kvapaliny s rovnakým objemom, ako má ponorená časť telesa:

F_{vz} = V \rho_k g

$V$ = objem ponorenej časti telesa, $\rho_k$ = hustota kvapaliny. Vztlak nezávisí od toho, z čoho je teleso, ani (pri úplnom ponorení) od hĺbky.

Hliníková kocka s hranou 10 cm na silomere: $V = 1\,\mathrm{dm^3} = 0{,}001\,\mathrm{m^3}$ , hmotnosť 2,7 kg.

Tiaž: $F_G = mg = 2{,}7 \cdot 9{,}81\,\mathrm{N} \approx 26{,}5\,\mathrm{N}$
Vztlak vo vode: $F_{vz} = V\rho_k g = 0{,}001 \cdot 1\,000 \cdot 9{,}81\,\mathrm{N} = 9{,}81\,\mathrm{N}$
Silomer vo vode ukáže $F_G - F_{vz} = 26{,}487 - 9{,}81 \approx$ $16{,}7\,\mathrm{N}$

Preto vo vode unesieš viac: časť tiaže za teba „drží“ voda.

Do vzorca patrí hustota kvapaliny, nie telesa — a objem v m³ (1 dm³ = 0,001 m³). Kto dosadí 1 dm³ ako 1, dostane vztlak 9 810 N namiesto 9,81 N.

Pláva, vznáša sa, klesá

Na úplne ponorené teleso pôsobí nadol tiaž $F_G = V\rho_t g$ a nahor vztlak $F_{vz} = V\rho_k g$ . Objem aj $g$ sú rovnaké, takže rozhoduje porovnanie hustôt:

hustota	čo sa stane	príklad vo vode
$\rho_t < \rho_k$	teleso stúpa a pláva na hladine	ľad, drevo, sviečka
$\rho_t = \rho_k$	teleso sa vznáša	ponorka v rovnováhe
$\rho_t > \rho_k$	teleso klesá ku dnu	kameň, klinec, minca

Plávajúce teleso sa ponorí práve toľko, aby vztlak vyrovnal tiaž: $V_{pon}\rho_k = V\rho_t$ , teda $\dfrac{V_{pon}}{V} = \dfrac{\rho_t}{\rho_k}$ . Ľad (917 kg/m³) má v sladkej vode pod hladinou $917 : 1\,000 \approx 92\,\%$ objemu — z ľadovca vidíš len malý vrch.

Loď je z ocele, ale dutá — jej priemerná hustota (oceľ + vzduch vo vnútri) je menšia ako hustota vody. Ponorka sa ponára tak, že napustí vodu do nádrží (hmotnosť rastie, objem nie), a vynára sa, keď ju stlačeným vzduchom vytlačí.

Vztlak aj vo vzduchu

Archimedov zákon platí aj pre plyny. Balónik s objemom 5 l vytlačí $0{,}005\,\mathrm{m^3}$ vzduchu (1,2 kg/m³), teda 6 g — vztlak je asi $0{,}059\,\mathrm{N}$ . Hélium v ňom má hmotnosť len asi 0,85 g, takže na obal a špagátik ostáva približne 5 g „nosnosti“. Teplovzdušný balón stúpa, lebo horúci vzduch v obale má menšiu hustotu ako chladnejší vzduch okolo.

Železná kocka s objemom 0,5 dm³ ( $\rho = 7\,870\,\mathrm{kg/m^3}$ ) visí na silomere celá ponorená vo vode. Čo ukáže silomer?

Ukáž riešenie

$V = 0{,}0005\,\mathrm{m^3}$ . Tiaž $F_G = V\rho_t g = 0{,}0005 \cdot 7\,870 \cdot 9{,}81 \approx 38{,}6\,\mathrm{N}$ , vztlak $F_{vz} = V\rho_k g = 0{,}0005 \cdot 1\,000 \cdot 9{,}81 \approx 4{,}9\,\mathrm{N}$ . Silomer ukáže asi $33{,}7\,\mathrm{N}$ .

🧪 Pokus — zmeraj hustotu kuchynskou váhou

Pomôcky: digitálna kuchynská váha, pohár s vodou, malý kovový predmet alebo kamienok, niť.

Odváž samotný predmet → hmotnosť $m$ (napr. 108 g).
Na váhu polož pohár s vodou a vynuluj ju (tlačidlo tara).
Predmet na niti ponor celý do vody tak, aby sa nedotýkal dna ani stien. Váha ukáže prírastok (napr. 40 g).

Čo uvidíš a prečo

Voda tlačí na predmet vztlakom nahor a predmet tlačí rovnako veľkou silou na vodu nadol (zákon akcie a reakcie) — váha preto ukáže hmotnosť vytlačenej vody. Voda má 1 g na 1 cm³, takže 40 g = objem predmetu 40 cm³. Hustota: $\rho = 108\,\mathrm{g} : 40\,\mathrm{cm^3} = 2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}$ — to je hliník. Bonus: vajce v pohári vody klesne; keď postupne rozmiešaš veľa soli, vajce vypláva — slaná voda má väčšiu hustotu, a teda väčší vztlak.

Teraz ty

Zapamätaj si

Vztlak vzniká, lebo na spodok telesa pôsobí väčší hydrostatický tlak ako na vrch.
Archimedov zákon: $F_{vz} = V\rho_k g$ — $V$ je objem ponorenej časti, $\rho_k$ hustota kvapaliny (alebo plynu).
$\rho_t < \rho_k$ pláva, $\rho_t = \rho_k$ vznáša sa, $\rho_t > \rho_k$ klesá.
Plávajúce teleso: ponorená časť $\dfrac{V_{pon}}{V} = \dfrac{\rho_t}{\rho_k}$ .