Prúdenie: rovnica spojitosti a Bernoulliho rovnica

Prečo voda z hadice strieka ďalej, keď ju pricvikneš palcom, a prečo lietadlo letí?

Pricvikneš koniec záhradnej hadice palcom a voda zrazu strieka cez pol záhrady. Pri nástupišti, kde prefrčí rýchlik, sa ťa vzduch snaží potiahnuť k vlaku. A lietadlo s hmotnosťou desiatok ton sa udrží vo vzduchu. Všetko to sú javy prúdiacej tekutiny.

Prúdenie a prietok

Kvapaliny a plyny spolu nazývame tekutiny. Aby sa prúdenie dalo jednoducho počítať, používame model ideálnej kvapaliny: je nestlačiteľná a bez vnútorného trenia. Pri ustálenom prúdení sa rýchlosť v danom mieste s časom nemení.

Objemový prietok hovorí, aký objem kvapaliny pretečie prierezom za 1 sekundu:

Q_V = \frac{V}{t} = S v

$S$ je obsah prierezu, $v$ rýchlosť prúdenia; jednotka m³/s (v praxi aj l/s).

Záhradná hadica: prierez $S = 2\,\mathrm{cm^2} = 0{,}0002\,\mathrm{m^2}$ , voda tečie rýchlosťou $2\,\mathrm{m/s}$ .

$Q_V = Sv = 0{,}0002\,\mathrm{m^2} \cdot 2\,\mathrm{m/s} = 0{,}0004\,\mathrm{m^3/s} =$ $0{,}4\,\mathrm{l/s}$
Desaťlitrové vedro naplníš za $10\,\mathrm{l} : 0{,}4\,\mathrm{l/s} = 25\,\mathrm{s}$ .

Rovnica spojitosti

Ideálna kvapalina sa nedá stlačiť ani sa nikde nehromadí — čo vtečie do rúrky, to musí aj vytiecť. Prietok je preto v každom priereze rovnaký:

S_1 v_1 = S_2 v_2

Kde je rúrka užšia, kvapalina tečie rýchlejšie. Rieka sa v úzkom koryte zrýchli, v širokom spomalí. Keď hadicu pricvikneš palcom, zmenšíš prierez na konci a voda vyletí väčšou rýchlosťou — preto dostrekne ďalej. (Presne vzaté, prietok z vodovodu pritom trochu klesne, takže to nie je čistá rovnica spojitosti: tlak vody v hadici sa v úzkom otvore premení na rýchlosť.)

Zúžené potrubie: priemer sa zmení zo 4 cm na 2 cm, v širšej časti tečie voda rýchlosťou 1,5 m/s.

Obsah kruhu je úmerný druhej mocnine priemeru: $\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$
$v_2 = v_1 \cdot \dfrac{S_1}{S_2} = 1{,}5\,\mathrm{m/s} \cdot 4 =$ $6\,\mathrm{m/s}$

Polovičný priemer ≠ polovičný prierez. Keď sa priemer zmenší na polovicu, prierez sa zmenší štyrikrát ( $S = \pi d^2/4$ ), a rýchlosť teda štyrikrát vzrastie, nie dvakrát.

Bernoulliho rovnica

V zúžení sa kvapalina zrýchli — získa pohybovú energiu. Tá sa nevezme z ničoho: v zúžení klesne tlak. Pre ideálnu kvapalinu vo vodorovnej trubici platí Bernoulliho rovnica:

p + \tfrac12 \rho v^2 = \text{konšt.}

$p$ je tlak (tlaková energia jedného m³ kvapaliny), $\tfrac12\rho v^2$ je dynamický tlak (pohybová energia jedného m³). Je to zákon zachovania energie pre prúdiacu kvapalinu. Ak trubica stúpa, pribudne ešte člen $h\rho g$ : $p + \tfrac12\rho v^2 + h\rho g = \text{konšt.}$

Kde kvapalina prúdi rýchlejšie, tam má menší tlak.

Výška vody v trubičkách ukazuje tlak: v zúžení je nižšia.

To isté potrubie: v širšej časti je tlak $p_1 = 150\,\mathrm{kPa}$ , $v_1 = 1{,}5\,\mathrm{m/s}$ , v zúžení $v_2 = 6\,\mathrm{m/s}$ .

$p_2 = p_1 - \tfrac12\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$
$p_2 = 150\,000\,\mathrm{Pa} - \tfrac12 \cdot 1\,000 \cdot (36 - 2{,}25)\,\mathrm{Pa} = 150\,000 - 16\,875$
$p_2 = 133\,125\,\mathrm{Pa} \approx 133\,\mathrm{kPa}$

Bernoulli v praxi

Rozprašovač (fixírka, starší parfum): rýchly prúd vzduchu tesne nad ústím trubičky zmenší tlak. Atmosférický tlak na hladinu v nádobke vytlačí kvapalinu hore a prúd ju roztrhá na kvapôčky.
Krídlo lietadla je tvarované a mierne naklonené tak, že nad ním prúdi vzduch rýchlejšie ako pod ním. Nad krídlom je preto menší tlak ako pod ním a rozdiel tlakov dá silu nahor — aerodynamický vztlak. Vzduch nad a pod krídlom nemusí obtiecť za rovnaký čas — to je častý mýtus; rýchlejší prúd nad krídlom vzniká tvarom a sklonom krídla, ktoré zároveň odkláňa vzduch nadol (reakciou naň je sila nahor).
Nástupište: idúci vlak strháva so sebou vzduch (trením o svoj povrch) a pri jeho čele a konci vznikajú tlakové nárazy. Prúd vzduchu ťa môže strhnúť smerom k vlaku — preto sa stojí za bezpečnostnou čiarou. Toto nie je čistý Bernoulliho jav: rovnica platí pozdĺž jedného prúdu, nie medzi prúdom pri vlaku a pokojným vzduchom na nástupišti.
Víchrica a strecha: nad strechou fúka rýchly vietor, tlak je menší ako v podkroví, a rozdiel tlakov môže strechu nadvihnúť.

Potrubím s prierezom 30 cm² tečie voda rýchlosťou 2,4 m/s. Vo ventile sa prierez zúži na 10 cm². Akou rýchlosťou tečie voda vo ventile? Je tam tlak väčší, alebo menší?

Ukáž riešenie

$v_2 = v_1 \cdot \dfrac{S_1}{S_2} = 2{,}4\,\mathrm{m/s} \cdot \dfrac{30}{10} =$ $7{,}2\,\mathrm{m/s}$ . Voda je tam rýchlejšia, preto je tlak menší (Bernoulliho rovnica).

🧪 Pokus — rozprašovač zo slamiek

Pomôcky: dve rovné plastové slamky, pohár s vodou; rob nad umývadlom.

Jednu slamku postav zvislo do pohára, aby z vody trčala asi 1–2 cm.
Druhú drž vodorovne, jej koniec tesne pri hornom ústí zvislej slamky (takmer sa dotýkajú, v pravom uhle).
Silno a rovnomerne fúkaj do vodorovnej slamky.

Čo uvidíš a prečo

Voda vo zvislej slamke vystúpi a vyletí ako jemná sprška. Rýchly prúd vzduchu nad ústím zmenší tlak, atmosférický tlak na hladinu v pohári vytlačí vodu hore. Bonus: podrž pred ústami dva listy papiera zvislo vedľa seba (asi 3 cm od seba) a fúkaj medzi ne — listy sa k sebe priblížia, hoci by si čakal, že ich rozfúkaš.

Zapamätaj si

Objemový prietok $Q_V = Sv$ (m³/s).
Rovnica spojitosti $S_1 v_1 = S_2 v_2$ — v užšom mieste tečie kvapalina rýchlejšie.
Bernoulliho rovnica (vodorovne): $p + \tfrac12\rho v^2 = \text{konšt.}$ — kde je prúdenie rýchlejšie, tam je tlak menší.
Využitie: rozprašovač, krídlo lietadla; pozor na rýchly prúd vzduchu pri vlaku.