Ideálny plyn a stavová rovnica

Vzduch sa zdá byť „nič“. Lenže v izbe s rozmermi 5 m × 4 m × 2,5 m je ho asi 60 kg — zhruba toľko, koľko vážiš ty. Pneumatika auta, nafúknutá lopta aj tlaková fľaša sa správajú podľa jedného jednoduchého vzťahu. Dnes ho budeš vedieť použiť.

Model ideálneho plynu

Molekuly plynu lietajú chaoticky všetkými smermi a narážajú do seba aj do stien nádoby. Pri izbovej teplote majú rýchlosti rádovo stovky metrov za sekundu (dusík okolo 500 m/s). Ich nárazy na steny cítime ako tlak plynu.

Fyzika plyn zjednoduší na ideálny plyn:

rozmery molekúl sú zanedbateľné oproti vzdialenostiam medzi nimi,
molekuly na seba silami nepôsobia, okrem okamihu zrážky,
zrážky sú dokonale pružné a medzi zrážkami sa molekuly pohybujú rovnomerne priamočiaro.

Vzduch, dusík či hélium sa tak správajú dobre pri bežných podmienkach. Model zlyháva pri veľmi vysokom tlaku a veľmi nízkej teplote, keď sa plyn blíži skvapalneniu.

Model ideálneho plynu: bodové molekuly, ktoré sa len zrážajú a narážajú do stien.

Stavové veličiny

Stav plynu opisujú stavové veličiny: tlak $p$ (Pa), objem $V$ ( $\mathrm{m^3}$ ), termodynamická teplota $T$ (K) a látkové množstvo $n$ (mol).

Teplota: $T = t + 273{,}15$ , napríklad $20\,°\mathrm{C} \approx 293\,\mathrm{K}$ .
Látkové množstvo: $n = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{m}{M_m}$ , kde $N$ je počet molekúl, $N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$ je Avogadrova konštanta a $M_m$ molárna hmotnosť (kyslík $\mathrm{O_2}$ 32 g/mol, dusík $\mathrm{N_2}$ 28 g/mol, vzduch asi 29 g/mol).
Prevody: $1\,\mathrm{l} = 1\,\mathrm{dm^3} = 10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ , $1\,\mathrm{kPa} = 10^3\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{bar} = 10^5\,\mathrm{Pa}$ . Normálny atmosférický tlak je $p_n = 101\,325\,\mathrm{Pa}$ .

Prevod °C ↔ K si vyskúšaj tu (prepni aj na tlak a objem):

Stavová rovnica

Tlak, objem, teplotu a látkové množstvo ideálneho plynu spája stavová rovnica

pV = nRT

$R = 8{,}31\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$ je molárna plynová konštanta (v učebniciach aj $R_m$ ). Rovnaký vzťah pre počet molekúl: $pV = NkT$ , kde $k = 1{,}38\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ je Boltzmannova konštanta.

Koľko vzduchu je v izbe? Izba má $V = 5 \cdot 4 \cdot 2{,}5 = 50\,\mathrm{m^3}$ , tlak $p = 101\,\mathrm{kPa}$ , teplota $20\,°\mathrm{C}$ , teda $T \approx 293\,\mathrm{K}$ .

$n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{101\,000\,\mathrm{Pa} \cdot 50\,\mathrm{m^3}}{8{,}31\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} \cdot 293\,\mathrm{K}} \approx 2\,074\,\mathrm{mol}$
$m = nM_m = 2\,074\,\mathrm{mol} \cdot 0{,}029\,\mathrm{kg/mol}$
$m \approx 60\,\mathrm{kg}$ — a molekúl je $N = nN_A \approx 1{,}25\cdot10^{27}$ .

Jednotky SI, inak to nevyjde. Do $pV = nRT$ dosadzuj tlak v Pa, objem v $\mathrm{m^3}$ a teplotu v kelvinoch. A pozor na tlakomer pneumatiky: ukazuje pretlak (o koľko je tlak väčší než atmosférický). Do rovnice patrí celkový tlak = pretlak + asi 100 kPa.

Molárny objem: 1 mol ľubovoľného ideálneho plynu pri $0\,°\mathrm{C}$ a tlaku $p_n$ zaberá $V = \dfrac{RT}{p} \approx 22{,}4\,\mathrm{l}$ — hélium v balóne aj oxid uhličitý v sóde. Na druh plynu nezáleží, záleží na počte molekúl.

Plyn so stálou hmotnosťou

Keď plyn z nádoby neuniká a ani doň nepribúda, $n$ je stále. Potom zo stavovej rovnice

\frac{pV}{T} = nR = \text{konšt.}

\Longrightarrow

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}

Tu smieš nechať litre aj kilopascaly, ak ich máš na oboch stranách rovnaké. Teplota však musí byť vždy v kelvinoch.

Plyn v nádobe s piestom má $p_1 = 200\,\mathrm{kPa}$ , $V_1 = 3\,\mathrm{l}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ . Stlačíš ho na $V_2 = 2\,\mathrm{l}$ a zohreje sa na $T_2 = 400\,\mathrm{K}$ .

$p_2 = \dfrac{p_1V_1T_2}{T_1V_2} = \dfrac{200\,\mathrm{kPa} \cdot 3\,\mathrm{l} \cdot 400\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K} \cdot 2\,\mathrm{l}}$
$p_2 = 400\,\mathrm{kPa}$

Uzavretá nádoba so stálym objemom má pri $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ tlak $100\,\mathrm{kPa}$ . Na akú teplotu ju treba zohriať, aby bol tlak $150\,\mathrm{kPa}$ ?

Ukáž riešenie

$V$ sa nemení, takže $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$ a $T_2 = T_1\dfrac{p_2}{p_1} = 300\,\mathrm{K}\cdot\dfrac{150}{100} =$ $450\,\mathrm{K}$ , teda asi $177\,°\mathrm{C}$ .

🧪 Pokus: Ako rýchlo sa šíri vôňa?

Pomôcky: voňavka alebo osviežovač vzduchu, mobil so stopkami, metrový pás, dvaja-traja kamaráti.

Zavri okná a dvere, aby v izbe nebol prievan. Kamaráti si sadnú 1 m, 2 m a 3 m od rohu izby.
Raz krátko strekni voňavku do rohu (nie smerom na ľudí ani do očí) a spusti stopky.
Každý zdvihne ruku, keď vôňu ucíti. Zapíš časy.

Čo uvidíš: vôňa ide sekundy až desiatky sekúnd, hoci molekuly letia stovky metrov za sekundu. Molekula voňavky sa totiž neustále zráža s molekulami vzduchu a jej cesta je kľukatá — samotná difúzia by na 3 m potrebovala hodiny. Že vôňu ucítiš tak skoro, spôsobuje hlavne slabé prúdenie vzduchu v izbe (teplo od ľudí, od radiátora), ktoré molekuly unáša.

Teraz ty — chyť správny výsledok:

Zapamätaj si

Ideálny plyn: molekuly sú body, pôsobia na seba len pri pružných zrážkach; skutočné plyny sa tak správajú pri bežnom tlaku a teplote.
Stavové veličiny: $p$ (Pa), $V$ ( $\mathrm{m^3}$ ), $T$ (K), $n$ (mol); $T = t + 273{,}15$ , $n = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{m}{M_m}$ .
Stavová rovnica: $pV = nRT$ , $R = 8{,}31\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$ .
Pri stálej hmotnosti plynu: $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$ , teplota vždy v kelvinoch.
Tlakomer pneumatiky ukazuje pretlak; do rovníc patrí celkový tlak.

Ideálny plyn a stavová rovnica

Model ideálneho plynu

Stavové veličiny

Stavová rovnica

Plyn so stálou hmotnosťou

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí