Lineárna funkcia y = kx + q

Taxík: nástupné 2 € a potom 0,80 € za každý kilometer. Za 5 km zaplatíš $0{,}8 \cdot 5 + 2 = 6$ €. Jedna pevná suma a jedna suma „za kus“ — takto vyzerá väčšina cien okolo teba. A všetky majú spoločný tvar predpisu.

Tvar y = kx + q

Lineárna funkcia je každá funkcia s predpisom

f: y = kx + q

kde $k$ a $q$ sú reálne čísla. Ak nie je povedané inak, $D(f) = \mathbb{R}$ . Jej grafom je priamka.

Taxík má $y = 0{,}8x + 2$ , teda $k = 0{,}8$ a $q = 2$ . Pozor na poradie pri čítaní: funkcia $y = 5 - 3x$ má $k = -3$ (číslo pri $x$ ) a $q = 5$ .

Číslo q — kde priamka pretne os y

Dosaď $x = 0$ : $y = k \cdot 0 + q = q$ . Priamka preto pretína os $y$ v bode $[0; q]$ .

V príbehu je $q$ štartovná hodnota: nástupné v taxíku, paušál, stav batérie na začiatku.

Číslo k — smernica

Číslo $k$ sa volá smernica. Hovorí, o koľko sa zmení $y$ , keď $x$ zväčšíš o 1. V taxíku: každý kilometer navyše pridá 0,80 €.

$k \gt 0$ : funkcia je rastúca, priamka stúpa,
$k \lt 0$ : funkcia je klesajúca, priamka padá,
$k = 0$ : funkcia $y = q$ je konštantná, priamka je vodorovná.

Čím je $k$ ďalej od nuly, tým je priamka strmšia.

Všetky tri priamky majú q = 1, preto pretínajú os y v bode [0; 1]. Líšia sa smernicou k.

Pohraj sa s posuvníkmi: $q$ posúva priamku hore a dole, $k$ ju otáča okolo bodu $[0; q]$ .

Graf z dvoch bodov

Priamka je určená dvoma bodmi. Na graf lineárnej funkcie ti teda stačia dva body — tretí si daj ako kontrolu.

Nakresli graf funkcie $f: y = 2x - 1$ .

Prvý bod zadarmo: $q = -1$ , takže priamka ide cez $[0; -1]$ .
Druhý bod: zvoľ $x = 2$ . $f(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ , bod $[2; 3]$ .
Kontrolný bod: $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$ , bod $[-1; -3]$ .
Vynes body a prelož nimi priamku. Všetky tri ležia na nej — graf je správne. Smernica $k = 2$ je kladná, priamka stúpa.

Smernica z dvoch bodov

Keď poznáš dva body $A[x_1; y_1]$ a $B[x_2; y_2]$ priamky, smernicu vypočítaš ako „o koľko nahor“ delené „o koľko doprava“:

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Nájdi predpis lineárnej funkcie, ktorej graf prechádza bodmi $A[1; 2]$ a $B[3; 8]$ .

Smernica: $k = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$ .
Zatiaľ vieš $y = 3x + q$ . Dosaď bod $A$ : $2 = 3 \cdot 1 + q$ .
Odtiaľ $q = 2 - 3 = -1$ .
Predpis: $f: y = 3x - 1$ . Skúška bodom $B$ : $3 \cdot 3 - 1 = 8$ ✓

Z bodu A do bodu B: o 2 doprava a o 6 nahor, teda k = 6 : 2 = 3.

V čitateli aj v menovateli odčítaj v rovnakom poradí. Ak hore počítaš $y_B - y_A$ , dole musí byť $x_B - x_A$ . Keď poradie pomiešaš, dostaneš opačné znamienko. A nezamieňaj zlomok: hore je vždy rozdiel y, dole rozdiel x.

Zvislá priamka (napr. $x = 3$ ) smernicu nemá a nie je grafom funkcie — jednému $x$ by patrilo nekonečne veľa $y$ .

Schody: smernicu vidíš v grafe ako schod. Z ľubovoľného bodu priamky choď o 1 doprava — na priamku sa vrátiš posunom o $k$ (pri kladnom $k$ nahor, pri zápornom nadol). Vo fyzike je smernica grafu dráhy od času rýchlosť: strmšia priamka = rýchlejší pohyb.

Graf lineárnej funkcie prechádza bodmi $A[-2; 5]$ a $B[2; -3]$ . Nájdi jej predpis.

Ukáž riešenie

$k = \dfrac{-3 - 5}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2$ .

Dosaď bod $B$ do $y = -2x + q$ : $-3 = -2 \cdot 2 + q$ , teda $q = -3 + 4 = 1$ .

Predpis: $y = -2x + 1$ . Skúška bodom $A$ : $-2 \cdot (-2) + 1 = 5$ ✓ Funkcia je klesajúca.

Hra: priraď ku každej dvojici bodov smernicu priamky, ktorá nimi prechádza.

Zapamätaj si

Lineárna funkcia: $y = kx + q$ , grafom je priamka.
$q$ určuje priesečník s osou $y$ : bod $[0; q]$ .
$k$ je smernica: zmena $y$ pri zväčšení $x$ o 1.
$k \gt 0$ rastúca, $k \lt 0$ klesajúca, $k = 0$ konštantná.
Smernica z dvoch bodov: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Lineárna funkcia y = kx + q

Tvar y = kx + q

Číslo q — kde priamka pretne os y

Číslo k — smernica

Graf z dvoch bodov

Smernica z dvoch bodov

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí