Priama a nepriama úmernosť

Na brigáde dostaneš 6 € za hodinu. Dvakrát viac hodín = dvakrát viac peňazí. Do školy vzdialenej 12 km ideš na bicykli. Dvakrát väčšia rýchlosť = polovičný čas. Dve závislosti, ktoré poznáš zo základnej školy — teraz ich zapíšeš ako funkcie.

Priama úmernosť

Priama úmernosť je funkcia s predpisom

y = kx,

k \ne 0

Je to lineárna funkcia, ktorá má $q = 0$ . Jej grafom je preto priamka prechádzajúca počiatkom $[0; 0]$ .

Spoznáš ju podľa toho, že podiel $\dfrac{y}{x}$ je pre všetky dvojice rovnaký — a rovná sa $k$ . Koľkokrát zväčšíš $x$ , toľkokrát sa zväčší $y$ (pri kladnom $k$ ).

Brigáda: $y = 6x$ , kde $x$ sú hodiny a $y$ zárobok v eurách.

Jablká: 3 kg jabĺk stoja 4,50 €. Koľko zaplatíš za 7 kg?

Cena je priamo úmerná hmotnosti: $y = kx$ .
Koeficient: $k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4{,}50}{3} = 1{,}5$ — to je cena za 1 kg v eurách.
Predpis: $y = 1{,}5x$ .
Pre $x = 7$ : $y = 1{,}5 \cdot 7 = 10{,}5$ . Zaplatíš 10,50 €.

Priama úmernosť y = 1,5x: graf vždy prechádza počiatkom [0; 0].

Nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť je funkcia s predpisom

y = \frac{k}{x},

k \ne 0,\ x \ne 0

Nulou sa nedelí, preto $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Spoznáš ju podľa toho, že súčin $x \cdot y$ je pre všetky dvojice rovnaký — a rovná sa $k$ . Koľkokrát zväčšíš $x$ , toľkokrát sa $y$ zmenší (pri kladných hodnotách).

Grafom je krivka, ktorá sa volá hyperbola. V úlohách zo života bývajú $x$ aj $y$ kladné, takže kreslíš len jednu jej vetvu.

Nepriama úmernosť y = 12/x (vetva pre kladné x): súčin súradníc každého bodu je 12. Krivka sa k osiam približuje, ale nedotkne sa ich.

Cesta: Rýchlosťou 60 km/h trvá cesta 2 hodiny. Ako dlho potrvá rýchlosťou 80 km/h?

Dráha sa nemení. Čím väčšia rýchlosť, tým kratší čas — nepriama úmernosť: $t = \dfrac{k}{v}$ .
Koeficient je súčin: $k = v \cdot t = 60 \cdot 2 = 120$ — to je dráha v kilometroch.
Predpis: $t = \dfrac{120}{v}$ .
Pre $v = 80$ : $t = \dfrac{120}{80} = 1{,}5$ . Cesta potrvá 1,5 hodiny, teda 1 h 30 min.

Ako ich rozlíšiš

	priama úmernosť	nepriama úmernosť
predpis	$y = kx$	$y = \dfrac{k}{x}$
stále rovnaký je	podiel $\dfrac{y}{x} = k$	súčin $x \cdot y = k$
$x$ dvakrát väčšie	$y$ dvakrát väčšie	$y$ dvakrát menšie
graf	priamka cez $[0; 0]$	hyperbola

„Čím viac, tým viac“ ešte nie je priama úmernosť. Taxík $y = 0{,}8x + 2$ tiež rastie, ale za 5 km zaplatíš 6 € a za 10 km 10 € — nie dvojnásobok. Kvôli nástupnému ( $q \ne 0$ ) graf nejde cez počiatok.

Rovnako „čím viac, tým menej“ nie je vždy nepriama úmernosť. Batéria $y = 100 - 2x$ klesá, ale súčin $x \cdot y$ sa mení. Vždy over podiel alebo súčin.

Prepojenie na elektro: Ohmov zákon $U = R \cdot I$ . Pri stálom odpore je napätie priamo úmerné prúdu ( $k = R$ ). Pri stálom napätí je prúd $I = \dfrac{U}{R}$ nepriamo úmerný odporu ( $k = U$ ): dvakrát väčší odpor, polovičný prúd.

V tabuľke sú dvojice $x$ a $y$ : pre $x = 2$ je $y = 12$ , pre $x = 4$ je $y = 6$ , pre $x = 8$ je $y = 3$ . O akú úmernosť ide? Zapíš predpis a vypočítaj $y$ pre $x = 5$ .

Ukáž riešenie

Podiely: $12 : 2 = 6$ , $6 : 4 = 1{,}5$ — nie sú rovnaké. Súčiny: $2 \cdot 12 = 24$ , $4 \cdot 6 = 24$ , $8 \cdot 3 = 24$ — rovnaké.

Je to nepriama úmernosť s $k = 24$ : $y = \dfrac{24}{x}$ .

Pre $x = 5$ : $y = \dfrac{24}{5} =$ 4,8.

Hra: roztrieď závislosti — over podiel alebo súčin, nie „čím viac, tým…“.

Zapamätaj si

Priama úmernosť: $y = kx$ , podiel $\dfrac{y}{x} = k$ , graf je priamka cez počiatok.
Nepriama úmernosť: $y = \dfrac{k}{x}$ , súčin $x \cdot y = k$ , graf je hyperbola, $x \ne 0$ .
Koeficient $k$ vypočítaš z jednej známej dvojice.
Lineárna funkcia s $q \ne 0$ nie je priama úmernosť.

Priama a nepriama úmernosť

Priama úmernosť

Nepriama úmernosť

Ako ich rozlíšiš

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí