Graf v praxi: priesečníky a grafické riešenie sústavy

Vyberáš si program na volania. Program A: 6 € mesačne a 0,05 € za minútu. Program B: žiadny paušál, ale 0,20 € za minútu. Ktorý je lacnejší? Závisí od toho, koľko voláš — a hranicu nájdeš tam, kde sa dva grafy pretnú.

Priesečníky s osami

Každý bod na osi $y$ má $x = 0$ . Každý bod na osi $x$ má $y = 0$ . Z toho vyplýva postup pre $y = kx + q$ :

priesečník s osou $y$ : dosaď $x = 0$ , vyjde $P_y[0; q]$ ,
priesečník s osou $x$ : dosaď $y = 0$ a vyrieš rovnicu $kx + q = 0$ . Pre $k \ne 0$ vyjde $x = -\dfrac{q}{k}$ , teda $P_x\left[-\dfrac{q}{k}; 0\right]$ .

Číslo $x$ , v ktorom je $y = 0$ , sa volá nulový bod funkcie.

Urči priesečníky grafu funkcie $f: y = 2x - 4$ s osami.

Os $y$ : $x = 0$ , $y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$ . Priesečník $P_y[0; -4]$ .
Os $x$ : $y = 0$ , teda $2x - 4 = 0$ .
$2x = 4$ , $x = 2$ . Priesečník $P_x[2; 0]$ .
Tieto dva body stačia na nakreslenie celej priamky.

Priesečník s osou y má x = 0, priesečník s osou x má y = 0.

V praxi má priesečník s osou $x$ jasný význam. Batéria $y = 100 - 4x$ ( $x$ v hodinách, $y$ v percentách) sa vybije, keď $y = 0$ : $100 - 4x = 0$ , teda $x = 25$ hodín.

Sústava rovníc ako dve priamky

Každá lineárna rovnica s dvoma neznámymi určuje jednu priamku. Riešenie sústavy je dvojica $[x; y]$ , ktorá vyhovuje obom rovniciam — teda bod, ktorý leží na oboch priamkach. To je ich priesečník.

Postup: obe rovnice uprav na tvar $y = kx + q$ , nakresli obe priamky, prečítaj priesečník a over ho dosadením.

Vyrieš graficky sústavu $y = x + 1$ a $2x + y = 7$ .

Druhú rovnicu uprav: $y = -2x + 7$ .
Prvá priamka: body $[0; 1]$ a $[2; 3]$ . Druhá priamka: body $[0; 7]$ a $[2; 3]$ .
Bod $[2; 3]$ majú spoločný — je to priesečník.
Skúška: $2 + 1 = 3$ ✓ a $2 \cdot 2 + 3 = 7$ ✓. Riešenie: $x = 2$ , $y = 3$ .

Výpočtom to isté: $x + 1 = -2x + 7$ , $3x = 6$ , $x = 2$ , $y = 2 + 1 = 3$ .

Priesečník P[2; 3] leží na oboch priamkach — jeho súradnice sú riešením sústavy.

Skús si to: posuvníkmi meň prvú priamku a sleduj, kam sa presúva priesečník.

Koľko riešení má sústava

Rozhodnú smernice:

rôzne $k$ — priamky sa pretnú v jednom bode, sústava má jedno riešenie,
rovnaké $k$ , rôzne $q$ — priamky sú rovnobežné, nepretnú sa, sústava nemá riešenie,
rovnaké $k$ aj $q$ — priamky splývajú, sústava má nekonečne veľa riešení.

Príklad: $y = 2x + 1$ a $y = 2x - 3$ sú rovnobežky. Rovnica $2x + 1 = 2x - 3$ vedie na $1 = -3$ , čo neplatí nikdy.

Ktorý program sa oplatí

Program A: $y = 0{,}05x + 6$ . Program B: $y = 0{,}2x$ ( $x$ sú minúty, $y$ cena v eurách). Pri koľkých minútach stoja rovnako?

Hľadáš priesečník: $0{,}05x + 6 = 0{,}2x$ .
$6 = 0{,}15x$ , teda $x = 6 : 0{,}15 = 40$ .
Cena: $y = 0{,}2 \cdot 40 = 8$ . Kontrola v A: $0{,}05 \cdot 40 + 6 = 8$ ✓
Pri 40 minútach stoja oba 8 €. Kto volá menej, vyberie B. Kto viac, vyberie A.

Do 40 minút je nižšie modrá priamka (program B), nad 40 minút oranžová (program A).

Graf nie je dôkaz. Z obrázka čítaš len približne — priesečník $[1{,}5; 2{,}5]$ ľahko prečítaš ako $[1; 3]$ alebo $[2; 2]$ . Prečítané súradnice vždy dosaď do oboch rovníc.

Druhá chyba: zámena osí. Priesečník s osou $x$ má $y = 0$ (nie $x = 0$ ). Pre $y = 2x - 4$ je to $[2; 0]$ , nie $[0; 2]$ .

Rýchly náčrt: priamku najľahšie nakreslíš cez jej dva priesečníky s osami. Ak vyjdú príliš blízko seba alebo priamka ide cez počiatok, dopočítaj ešte jeden bod ďalej.

Nájdi priesečník grafov funkcií $f: y = 3x - 2$ a $g: y = x + 4$ .

Ukáž riešenie

$3x - 2 = x + 4$ , teda $2x = 6$ a $x = 3$ .

$y = 3 + 4 = 7$ . Kontrola: $3 \cdot 3 - 2 = 7$ ✓

Priesečník je $P[3; 7]$ .

Hra: priraď ku každej funkcii priesečník jej grafu s osou $x$ — dosaď $y = 0$ .

Zapamätaj si

Priesečník s osou $y$ : $x = 0$ , bod $[0; q]$ .
Priesečník s osou $x$ : $y = 0$ , bod $\left[-\dfrac{q}{k}; 0\right]$ (pre $k \ne 0$ ).
Riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc = priesečník dvoch priamok.
Rôzne $k$ : jedno riešenie; rovnaké $k$ a rôzne $q$ : žiadne; rovnaké $k$ aj $q$ : nekonečne veľa.
Čo prečítaš z grafu, over dosadením.

Graf v praxi: priesečníky a grafické riešenie sústavy

Priesečníky s osami

Sústava rovníc ako dve priamky

Koľko riešení má sústava

Ktorý program sa oplatí

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí