Exponenciálna funkcia: rast a pokles

Video má 500 zhliadnutí a každý deň ich je o 20 % viac ako deň predtým. Po týždni nemá $500 + 7 \cdot 100 = 1\,200$ , ale vyše 1 700 zhliadnutí. Keď sa niečo každým krokom násobí rovnakým číslom, rastie exponenciálne — tak rastú úspory, klesá cena auta aj napätie na vybíjajúcom sa kondenzátore.

Exponenciálna funkcia

Exponenciálna funkcia so základom $a$ je funkcia

y = a^x,

a \gt 0,\ a \ne 1

Premenná $x$ je v exponente — v tom je rozdiel oproti kvadratickej funkcii $y = x^2$ , kde je premenná v základe.

Prečo $a \gt 0$ ? Pre záporný základ by napríklad $(-4)^{\frac{1}{2}}$ nebolo reálne číslo. A $a = 1$ vylučujeme, lebo $1^x = 1$ je obyčajná konštantná funkcia.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Graf a vlastnosti

Obe krivky prechádzajú bodom [0; 1] a sú navzájom súmerné podľa osi y. K osi x sa približujú, ale nikdy ju nepretnú.

Definičný obor $D = \mathbb{R}$ , obor hodnôt $H = (0;\ \infty)$ — hodnota je vždy kladná.
Graf prechádza bodom $[0;\ 1]$ , lebo $a^0 = 1$ .
$a \gt 1$ : funkcia je rastúca; $0 \lt a \lt 1$ : funkcia je klesajúca.
Os $x$ je asymptota — graf sa k nej približuje, ale nepretne ju.

Zlomok v základe neznamená automaticky pokles. Rozhoduje, či je základ väčší alebo menší ako 1: $\left(\frac{5}{4}\right)^x$ rastie, $0{,}9^x$ klesá. A $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ klesá.

Roztrieď funkcie podľa toho, či rastú alebo klesajú:

Rast a pokles o p %

Ak veličina so začiatočnou hodnotou $y_0$ rastie každé obdobie o $p$ %, po $n$ obdobiach má hodnotu

y_n = y_0 \cdot q^n,

q = 1 + \frac{p}{100}

Pri poklese o $p$ % je $q = 1 - \frac{p}{100}$ . Pozor: pokles o 15 % znamená $q = 0{,}85$ , nie $0{,}15$ .

a) Na účte máš 1 000 € s úrokom 3 % ročne (úroky ostávajú na účte, daň z úrokov neberieme do úvahy). Koľko budeš mať po 10 rokoch?

$y_{10} = 1\,000 \cdot 1{,}03^{10} \approx \mathbf{1\,343{,}92\ €}$

b) Auto za 20 000 € stratí každý rok 15 % hodnoty. Koľko má po 3 rokoch?

$y_3 = 20\,000 \cdot 0{,}85^3 = \mathbf{12\,282{,}50\ €}$

c) Video z úvodu: po 6 dňoch $500 \cdot 1{,}2^6 \approx \mathbf{1\,493}$ zhliadnutí, po 7 dňoch $500 \cdot 1{,}2^7 \approx \mathbf{1\,792}$ .

Vyskúšaj si zložené úrokovanie s vlastnými číslami:

Polčas rozpadu a kondenzátor

Polčas rozpadu $T$ je čas, za ktorý sa množstvo látky zmenší na polovicu:

m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

Látka s polčasom 8 dní: z 80 mg ostane po 24 dňoch $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10\,\mathrm{mg}$ .

Kondenzátor sa cez rezistor nenabíja rovnomerne. Napätie na ňom rastie podľa

u = U_0 \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right),

\tau = RC

kde $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ je Eulerovo číslo — základ, ktorý sa v prírode aj v elektrotechnike objavuje najčastejšie. Pre $R = 10\,\mathrm{k\Omega}$ a $C = 100\,\mathrm{\mu F}$ je $\tau = 1\,\mathrm{s}$ . Pri zdroji $U_0 = 12\,\mathrm{V}$ je po 1 s napätie asi $7{,}6\,\mathrm{V}$ (63 %) a po 5 s asi $11{,}9\,\mathrm{V}$ (99,3 %) — kondenzátor je prakticky nabitý.

Elektrikárske pravidlo: za čas $\tau$ sa kondenzátor nabije na asi 63 % a za $5\tau$ je prakticky nabitý. Pri vybíjaní platí $u = U_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$ — po čase $\tau$ ostane asi 37 % napätia.

a) Kultúra má 300 baktérií a každú hodinu ich je o 10 % viac. Koľko ich je po 3 hodinách?

b) Látka má polčas rozpadu 10 rokov. Koľko gramov z 200 g ostane po 30 rokoch?

Ukáž riešenie

a) $300 \cdot 1{,}1^3 = 399{,}3$ , teda približne 399 baktérií.

b) 30 rokov sú 3 polčasy: $200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \mathbf{25\ g}$ .

Zapamätaj si

Exponenciálna funkcia $y = a^x$ , $a \gt 0$ , $a \ne 1$ : $D = \mathbb{R}$ , $H = (0;\ \infty)$ , graf ide cez $[0;\ 1]$ .
$a \gt 1$ rastie, $0 \lt a \lt 1$ klesá; os $x$ je asymptota.
Rast alebo pokles o $p$ % za obdobie: $y_n = y_0 \cdot q^n$ , kde $q = 1 \pm \frac{p}{100}$ .
Polčas rozpadu: $m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ ; nabíjanie kondenzátora: $u = U_0\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ , $\tau = RC$ .

Exponenciálna funkcia: rast a pokles