Mocniny s racionálnym exponentom

Cena predplatného za 3 roky stúpla spolu o 33,1 %. O koľko percent stúpala v priemere každý rok? Nie o 11 %. Odpoveď dá číslo $1{,}331^{\frac{1}{3}}$ — mocnina, ktorá má v exponente zlomok. Po tejto lekcii ju vypočítaš.

Odmocnina ako mocnina

Pre $a \gt 0$ a prirodzené $n \ge 2$ platí

Prečo práve tak? Pravidlo $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ má platiť aj pre zlomky. Potom $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^1 = a$, takže $a^{\frac{1}{2}}$ je číslo, ktoré po umocnení na druhú dá $a$ — teda $\sqrt{a}$.

• $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
• $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$, lebo $3^4 = 81$
• $64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$, lebo $2^6 = 64$

Rozmer papiera A4 je 210 mm × 297 mm. Pomer strán $297 : 210 \approx 1{,}414 \approx 2^{\frac{1}{2}}$ — preto po preložení na polovicu (A5) ostáva rovnaký tvar.

Všeobecný zlomok v exponente

Pre $a \gt 0$, celé $m$ a prirodzené $n \ge 2$:

Menovateľ hovorí, akú odmocninu robíš, čitateľ, na koľkú umocňuješ. Prakticky je lepšie najprv odmocniť — čísla ostanú malé.

Desatinný exponent prepíš na zlomok: $32^{0{,}4} = 32^{\frac{2}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = 2^2 = 4$.

Pravidlá platia ďalej

Pre $a, b \gt 0$ a racionálne $r$, $s$ platia rovnaké pravidlá ako pri celých exponentoch:

Takto sa dá aj súčin odmocnín zapísať jednou odmocninou: $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}$.

Priemerný rast a hudba

Priemerný rast. Ak hodnota za $n$ rokov narástla $k$-krát, ročne v priemere rástla $k^{\frac{1}{n}}$-krát. Predplatné z úvodu: $1{,}331^{\frac{1}{3}} = 1{,}1$, teda o 10 % ročne. Skúška: $1{,}1^3 = 1{,}331$. Odhad $33{,}1 : 3 \approx 11$ % je zlý, lebo percentá sa každý rok počítajú z vyššej sumy.

Tóny. Oktáva vyššie má tón dvojnásobnú frekvenciu: z 440 Hz je 880 Hz. Oktáva má 12 poltónov a v bežnom (rovnomernom) ladení každý poltón násobí frekvenciu číslom $2^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}0595$. O poltón vyšší tón ako 440 Hz má asi $440 \cdot 2^{\frac{1}{12}} \approx 466{,}2\,\mathrm{Hz}$.

Hra: priraď mocninu k jej hodnote.

Teraz ty — 10 príkladov. Mocniny a odmocniny, ktoré pri racionálnom exponente potrebuješ spamäti:

Zapamätaj si

• Pre $a \gt 0$: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ a $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ — menovateľ je odmocnina, čitateľ mocnina.
• Záporný exponent dáva prevrátenú hodnotu: $a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$.
• Pravidlá $a^r a^s = a^{r+s}$, $a^r : a^s = a^{r-s}$, $(a^r)^s = a^{rs}$ platia aj pre zlomky.
• Priemerný ročný rast za $n$ rokov: $k^{\frac{1}{n}}$, kde $k$ je celkový násobok.