Postupnosť a jej zadanie

Čísla 2, 5, 10, 17, 26 … Aké bude ďalšie? A aké bude stoté — bez toho, aby si vypisoval všetkých sto? Takéto rady čísel sú všade: stav batérie po hodinách, počet sledovateľov po týždňoch, splátky úveru po mesiacoch. Matematika ich volá postupnosti a vie s nimi počítať rýchlo.

Čo je postupnosť

Postupnosť je funkcia, ktorej definičný obor je množina prirodzených čísel $\mathbb{N}$ (nekonečná postupnosť) alebo jej časť $\lbrace 1, 2, \dots, k \rbrace$ (konečná postupnosť).

Číslo $n$ je poradie (index): prvý, druhý, tretí člen …
Hodnota $a_n$ je $n$ -tý člen postupnosti.
Zápis celej postupnosti: $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ , stručne $(a_n)$ .

V rade z úvodu je $a_1 = 2$ , $a_2 = 5$ , $a_3 = 10$ . Niekoľko členov postupnosť jednoznačne neurčuje — pokračovať môže rôzne. Ak rad pokračuje podľa pravidla $a_n = n^2 + 1$ (rozdiely 3, 5, 7, 9 rastú o 2), stoty člen je $a_{100} = 100^2 + 1 =$ 10 001.

Vzorec pre n-tý člen

Postupnosť je zadaná vzorcom pre $n$ -tý člen, ak z neho vypočítaš ľubovoľný člen priamo — dosadíš poradie $n$ .

$a_n = 3n - 1$ . Vypočítaj prvých päť členov a $a_{20}$ . Je číslo 101 členom tejto postupnosti?

$a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ , ďalej $a_2 = 5$ , $a_3 = 8$ , $a_4 = 11$ , $a_5 = 14$
$a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 =$ 59
Riešime $3n - 1 = 101$ , teda $n = 34$ — prirodzené číslo, takže áno, 101 je 34. člen.
Pre 100: $3n - 1 = 100$ dáva $n = 33{,}\overline{6}$ — nie je prirodzené, 100 členom nie je.

Graf postupnosti sú samostatné body $[n;\ a_n]$ — nespájajú sa čiarou, lebo medzi $n = 1$ a $n = 2$ žiadny člen nie je.

Graf postupnosti $a_n = 3n - 1$ : body $[1;\ 2]$ , $[2;\ 5]$ , $[3;\ 8]$ , $[4;\ 11]$ , $[5;\ 14]$ .

Rekurentné zadanie

Rekurentne zadaná postupnosť má daný prvý člen (prípadne prvé dva) a pravidlo, ako z predchádzajúceho člena vypočítaš nasledujúci.

$a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 2a_n - 1$ : členy $2,\ 3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33, \dots$
Fibonacciho postupnosť: $a_1 = a_2 = 1$ , $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ : $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21, \dots$

Výhoda: pravidlo často presne opisuje situáciu („každý mesiac pribudne…“). Nevýhoda: kým nepoznáš vzorec pre $n$ -tý člen, na $a_{100}$ musíš vypočítať všetkých 99 predchádzajúcich členov.

$a_{n+1}$ nie je $a_n + 1$ . Index $n + 1$ znamená „nasledujúci člen“. Pri $a_n = 3n - 1$ je $a_{n+1} = 3(n + 1) - 1 = 3n + 2$ , kým $a_n + 1 = 3n$ . Do vzorca dosadzuješ za celé $n$ aj so zátvorkou.

Rastúca a klesajúca postupnosť

Rastúca: $a_{n+1} > a_n$ pre každé $n$ (každý člen je väčší ako predchádzajúci).
Klesajúca: $a_{n+1} < a_n$ pre každé $n$ .
Ak pripustíš aj rovnosť, je postupnosť neklesajúca ( $a_{n+1} \ge a_n$ ) alebo nerastúca ( $a_{n+1} \le a_n$ ).
Všetky tieto postupnosti sa spolu volajú monotónne.

Spoľahlivý test: vypočítaj rozdiel $a_{n+1} - a_n$ a zisti jeho znamienko pre všetky $n$ .

Je postupnosť $a_n = n^2 - 6n$ monotónna?

$a_{n+1} - a_n = (n + 1)^2 - 6(n + 1) - n^2 + 6n = 2n - 5$ . Pre $n = 1$ je rozdiel $-3$ , pre $n = 3$ už $+1$ . Členy $-5,\ -8,\ -9,\ -8,\ -5, \dots$ najprv klesajú, potom rastú — postupnosť nie je monotónna.

Dva-tri členy nestačia. Z $-5,\ -8,\ -9$ by si usúdil „klesajúca“, a to je zle. Rozhoduje znamienko rozdielu pre každé $n$ . A postupnosť $a_n = (-1)^n \cdot n$ ( $-1,\ 2,\ -3,\ 4, \dots$ ) skáče hore-dole, nie je ani rastúca, ani klesajúca.

Hra: priraď vzorec k jeho prvým trom členom.

Hra: rastúca, klesajúca, alebo ani jedno?

Teraz ty: chyť správny člen.

Zapamätaj si

Postupnosť je funkcia s definičným oborom $\mathbb{N}$ (alebo $\lbrace 1, \dots, k \rbrace$ ); $a_n$ je jej $n$ -tý člen.
Vzorcom pre $n$ -tý člen vypočítaš ľubovoľný člen priamo, napr. $a_n = 3n - 1$ , $a_{20} = 59$ .
Rekurentne: daný $a_1$ (prípadne aj $a_2$ ) a pravidlo, ako z predchádzajúcich členov vypočítaš ďalší — členy počítaš jeden po druhom.
Rastúca: $a_{n+1} - a_n > 0$ pre každé $n$ ; klesajúca: $a_{n+1} - a_n < 0$ pre každé $n$ .
Graf postupnosti sú samostatné body $[n;\ a_n]$ , nespájajú sa.