Aritmetická postupnosť a súčet

Hľadisko na koncert má 15 radov. V prvom je 20 sedadiel, v každom ďalšom o 2 viac. Koľko sedadiel je v poslednom rade a koľko lístkov sa dá predať? Vypisovať a sčítavať 15 čísel by šlo — ale pri 150 radoch už nie. Na to je aritmetická postupnosť.

Diferencia

Postupnosť je aritmetická, ak je rozdiel dvoch susedných členov stále rovnaký. Tento rozdiel je diferencia $d$ :

a_{n+1} = a_n + d,

d = a_{n+1} - a_n

$3,\ 7,\ 11,\ 15, \dots$ má $d = 4$ .
$10,\ 7,\ 4,\ 1, \dots$ má $d = -3$ .
Drep v posilňovni: začneš na 40 kg a každý týždeň pridáš 2,5 kg — $d = 2{,}5$ kg.

Ak $d > 0$ , postupnosť je rastúca; ak $d < 0$ , klesajúca; ak $d = 0$ , je konštantná ( $5,\ 5,\ 5, \dots$ ).

Vzorec pre n-tý člen

Z $a_1$ do $a_n$ urobíš $n - 1$ krokov, každý o $d$ :

a_n = a_1 + (n - 1)\,d

\text{a všeobecne}

a_r = a_s + (r - s)\,d

Hľadisko: $a_1 = 20$ , $d = 2$ . Posledný rad: $a_{15} = 20 + 14 \cdot 2 =$ 48 sedadiel.

Drep: v 10. týždni dvíhaš $a_{10} = 40 + 9 \cdot 2{,}5 =$ 62,5 kg.

Dva známe členy: $a_3 = 7$ , $a_8 = 22$ . Medzi nimi je $8 - 3 = 5$ krokov, teda $5d = 15$ , $d = 3$ . Potom $a_1 = a_3 - 2d = 1$ a $a_{20} = 1 + 19 \cdot 3 =$ 58.

Násob $(n - 1)$ , nie $n$ . Prvý rad už má 20 sedadiel bez pridávania — v 15. rade si pridal len 14-krát. Chyba $20 + 15 \cdot 2 = 50$ je typická.

Vzorec $a_n = dn + (a_1 - d)$ je lineárna funkcia so smernicou $d$ . Body $[n;\ a_n]$ preto ležia na priamke. Pre $a_n = 3n - 2$ ( $1,\ 4,\ 7, \dots$ ) je to priamka $y = 3x - 2$ — členy sú jej hodnoty v bodoch $x = 1, 2, 3, \dots$

Súčet prvých n členov

Malý Gauss vraj sčítal $1 + 2 + \dots + 100$ za chvíľu: spojil prvé a posledné číslo, druhé a predposledné … Každá dvojica dá $101$ a dvojíc je $50$ , spolu $5\,050$ .

To isté funguje pre každú aritmetickú postupnosť — súčet napíšeš odpredu aj odzadu a sčítaš. Každý stĺpec dá $a_1 + a_n$ , stĺpcov je $n$ , teda $2s_n = n\,(a_1 + a_n)$ :

s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\,(2a_1 + (n - 1)\,d)

Hľadisko: $s_{15} = \dfrac{15}{2} \cdot (20 + 48) =$ 510 lístkov.

Sporenie: prvý týždeň odložíš 5 €, každý ďalší o 2 € viac. Koľko máš po 20 týždňoch? $a_{20} = 5 + 19 \cdot 2 = 43$ €, $s_{20} = \dfrac{20}{2} \cdot (5 + 43) =$ 480 €.

Koľko je členov

V úlohách typu „súčet všetkých dvojciferných násobkov 7“ musíš najprv zistiť $n$ . Z $a_n = a_1 + (n - 1)d$ :

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1

Dvojciferné násobky 7 sú $14,\ 21, \dots, 98$ : $n = \frac{98 - 14}{7} + 1 = 13$ , súčet $s_{13} = \frac{13}{2} \cdot (14 + 98) = 728$ .

Nezabudni na $+1$ . Plot dlhý 10 m so stĺpikom každé 2 m má $\frac{10}{2} + 1 = 6$ stĺpikov (na 0, 2, 4, 6, 8 a 10 m), nie 5. Rozdiel $\frac{a_n - a_1}{d}$ počíta medzery, nie členy.

a) $a_1 = -4$ , $d = 3$ . Vypočítaj $a_{25}$ a $s_{25}$ . b) Koľko je trojciferných čísel deliteľných 4 a aký je ich súčet?

Ukáž riešenie

a) $a_{25} = -4 + 24 \cdot 3 =$ 68, $s_{25} = \frac{25}{2} \cdot (-4 + 68) =$ 800.

b) Prvé je 100, posledné 996: $n = \frac{996 - 100}{4} + 1 =$ 225, súčet $\frac{225}{2} \cdot (100 + 996) =$ 123 300.

Teraz ty: chyť správny výsledok.

Zapamätaj si

Aritmetická postupnosť: $a_{n+1} = a_n + d$ , diferencia $d = a_{n+1} - a_n$ .
$n$ -tý člen: $a_n = a_1 + (n - 1)\,d$ ; medzi dvoma členmi $a_r = a_s + (r - s)\,d$ .
Súčet: $s_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$ .
Počet členov: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$ — pozor na $+1$ .
Body $[n;\ a_n]$ ležia na priamke so smernicou $d$ .