Geometrická postupnosť a súčet

Pošleš vtipné video trom kamarátom. Každý z nich ho v ďalšom kole pošle trom ďalším, tí zase trom … V 6. kole ho dostane 729 ľudí a spolu za šesť kôl 1 092 (ak ho nikto nedostane dvakrát). Takto rýchlo rastie geometrická postupnosť — a presne takto sa počíta aj úrok, pokles kapacity batérie či zľava za zľavou.

Kvocient

Postupnosť je geometrická, ak každý člen dostaneš z predchádzajúceho vynásobením tým istým číslom — kvocientom $q$ :

a_{n+1} = a_n \cdot q,

q = \frac{a_{n+1}}{a_n}

$2,\ 6,\ 18,\ 54, \dots$ má $q = 3$ .
$80,\ 40,\ 20,\ 10, \dots$ má $q = \frac{1}{2}$ .
$5,\ -10,\ 20,\ -40, \dots$ má $q = -2$ — znamienka sa striedajú.

Rast alebo pokles o percentá je geometrická postupnosť: rast o 5 % je $q = 1{,}05$ , pokles o 5 % je $q = 0{,}95$ . (Predpokladáme $a_1 \ne 0$ a $q \ne 0$ , inak by boli členy nulové.)

Vzorec pre n-tý člen

Z $a_1$ do $a_n$ násobíš $(n - 1)$ -krát číslom $q$ :

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

\text{a všeobecne}

a_r = a_s \cdot q^{\,r-s}

Batéria e-kolobežky má nová kapacitu 500 Wh a každý rok stratí 5 % (zjednodušený model). Kapacita po 4 rokoch je člen $a_5$ : $a_5 = 500 \cdot 0{,}95^4 \doteq$ 407,25 Wh.

Dva známe členy: $a_2 = 6$ , $a_5 = 162$ . Platí $a_5 = a_2 \cdot q^3$ , teda $q^3 = 27$ , $q = 3$ a $a_1 = \frac{6}{3} = 2$ .

Exponent je $n - 1$ , nie $n$ . A pri percentách nepíš $q = 0{,}05$ ani $q = -0{,}05$ : pokles o 5 % znamená, že ostane 95 %, teda $q = 0{,}95$ .

Pre $a_1 > 0$ : ak $q > 1$ , postupnosť rastie; ak $0 < q < 1$ , klesá; ak $q = 1$ , je konštantná; ak $q < 0$ , znamienka sa striedajú a postupnosť nie je monotónna. Pre $q > 0$ , $q \ne 1$ je $a_n = \frac{a_1}{q} \cdot q^{\,n}$ — body $[n;\ a_n]$ ležia na grafe exponenciálnej funkcie.

Súčet prvých n členov

Súčet $s_n = a_1 + a_1 q + \dots + a_1 q^{\,n-1}$ vynásob číslom $q$ a odčítaj od neho pôvodný súčet:

q\,s_n - s_n = a_1 q^{\,n} - a_1

Všetky prostredné členy sa odčítajú. Pre $q \ne 1$ zostane

s_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

Pre $q = 1$ sú všetky členy rovnaké a $s_n = n \cdot a_1$ .

Video: $a_1 = 3$ , $q = 3$ , 6 kôl: $s_6 = 3 \cdot \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot 364 =$ 1 092 ľudí.

Cent na dvojnásobok: Ponuka A: 1 milión € hneď. Ponuka B: 1. deň 1 cent, každý ďalší deň dvakrát viac, 30 dní. Ponuka B dá $s_{30} = 1 \cdot \dfrac{2^{30} - 1}{2 - 1} = 1\,073\,741\,823$ centov $=$ 10 737 418,23 € — vyše desaťkrát viac.

V súčte je $q^n$ , v $n$ -tom člene $q^{n-1}$ . Ak si nie si istý, over to na malom $n$ : pre $n = 1$ musí vzorec dať $s_1 = a_1$ , a naozaj $a_1 \cdot \frac{q - 1}{q - 1} = a_1$ .

Hra: aritmetická, geometrická, alebo ani jedna?

Teraz ty: chyť správny výsledok.

Zapamätaj si

Geometrická postupnosť: $a_{n+1} = a_n \cdot q$ , kvocient $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ .
$n$ -tý člen: $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$ ; medzi dvoma členmi $a_r = a_s \cdot q^{\,r-s}$ .
Súčet pre $q \ne 1$ : $s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; pre $q = 1$ : $s_n = n \cdot a_1$ .
Rast o $p$ % je $q = 1 + \frac{p}{100}$ , pokles o $p$ % je $q = 1 - \frac{p}{100}$ .