Postupnosti v praxi: sporenie, splátky, rast

V 2. ročníku si pri sporení a úvere použil dva vzorce bez odvodenia. Teraz na to máš všetko: oba sú len súčtom geometrickej postupnosti. A navyše zistíš, prečo sa pri raste oplatí sledovať percentá, nie eurá.

Sporenie je súčet geometrickej postupnosti

Na začiatku každého z $n$ rokov vložíš sumu $a$ , úrokovací koeficient je $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Na konci $n$ -tého roka má posledný vklad hodnotu $aq$ (úročil sa rok), predposledný $aq^2$ , … a prvý $aq^{\,n}$ . Spolu:

S_n = aq + aq^2 + \dots + aq^{\,n}

To je geometrická postupnosť s prvým členom $aq$ , kvocientom $q$ a $n$ členmi. Podľa vzorca $s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ :

S_n = a \cdot q \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

Presne tento vzorec si používal v 2. ročníku. Pri vkladoch na konci roka chýba jedno $q$ (posledný vklad sa neúročí): $S_n = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ .

Rodičia ti na začiatku každého roka vložili 300 € pri 2 % p. a. Koľko je na účte na konci 18. roka?

$S_{18} = 300 \cdot 1{,}02 \cdot \dfrac{1{,}02^{18} - 1}{0{,}02} \doteq$ 6 552,17 €. Vložili $18 \cdot 300 = 5\,400$ €, úroky dali $1\,152{,}17$ €.

Odkiaľ je vzorec pre anuitu

Úver $D$ , mesačný koeficient $q = 1 + \frac{p}{1\,200}$ , na konci každého mesiaca splátka $a$ . Sleduj zostatok dlhu $Z$ :

po 1. mesiaci: $Z_1 = Dq - a$
po 2. mesiaci: $Z_2 = Z_1 q - a = Dq^2 - aq - a$
po $n$ mesiacoch: $Z_n = Dq^{\,n} - a\,(q^{\,n-1} + \dots + q + 1) = Dq^{\,n} - a \cdot \dfrac{q^{\,n} - 1}{q - 1}$

V zátvorke je súčet geometrickej postupnosti s prvým členom 1. Úver je splatený, keď $Z_n = 0$ . Z toho

a = D \cdot \frac{q^{\,n} \cdot (q - 1)}{q^{\,n} - 1}

— presne vzorec z 2. ročníka. Skúška: úver 3 000 €, 12 % p. a., 12 mesiacov, $q = 1{,}01$ : $a = 3\,000 \cdot \frac{1{,}01^{12} \cdot 0{,}01}{1{,}01^{12} - 1} \doteq 266{,}55$ € ✓.

Lineárny a exponenciálny rast

Máš dve ponuky práce, obe s nástupným platom 1 000 € mesačne. A: každý rok o 60 € viac — aritmetická postupnosť, $d = 60$ . B: každý rok o 5 % viac — geometrická, $q = 1{,}05$ . Mesačný plat v $n$ -tom roku:

A_n = 1\,000 + (n - 1) \cdot 60

B_n = 1\,000 \cdot 1{,}05^{\,n-1}

Mesačný plat v 1. až 12. roku: modré krúžky = ponuka A (+60 € ročne), oranžové štvorčeky = ponuka B (+5 % ročne).

Od 2. do 9. roku vedie A (v 9. roku $1\,480$ € proti $1\,477{,}46$ €), v 10. roku už B ( $1\,551{,}33$ € proti $1\,540$ €) a náskok sa každým rokom zväčšuje. Aritmetická postupnosť rastie stále o rovnaký kus, geometrická s $q > 1$ o rovnaké percento — preto ju pri kladných členoch raz vždy predbehne.

Za koľko rokov?

Ak hľadáš $n$ v exponente, pomôže logaritmus. Za koľko rokov sa vklad pri 4 % p. a. zdvojnásobí?

$1{,}04^{\,n} \ge 2 \;\Rightarrow\; n \ge \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \doteq 17{,}67$ , teda po 18 rokoch.

Pri poklese sa nerovnosť otočí. Batéria s kapacitou 500 Wh stráca 5 % ročne. Kedy klesne pod 80 % (400 Wh)? $0{,}95^{\,n} < 0{,}8$ . Logaritmus čísla menšieho ako 1 je záporný a pri delení záporným číslom sa znak nerovnosti obráti: $n > \frac{\log 0{,}8}{\log 0{,}95} \doteq 4{,}35$ , teda po 5 rokoch. Skúška: po 4 rokoch $\doteq 407{,}25$ Wh, po 5 rokoch $\doteq 386{,}89$ Wh.

a) Na začiatku každého roka vložíš 500 € pri 3 % p. a. Koľko máš na konci 6. roka? b) Notebook za 1 200 € kúpiš na úver s úrokom 9 % p. a. na 24 mesačných splátok. Aká je splátka a koľko spolu zaplatíš?

Ukáž riešenie

a) $S_6 = 500 \cdot 1{,}03 \cdot \dfrac{1{,}03^6 - 1}{0{,}03} \doteq$ 3 331,23 €.

b) $q = 1 + \frac{9}{1\,200} = 1{,}0075$ , $a = 1\,200 \cdot \dfrac{1{,}0075^{24} \cdot 0{,}0075}{1{,}0075^{24} - 1} \doteq$ 54,82 € mesačne, spolu približne $24 \cdot 54{,}82 =$ 1 315,68 €.

Hra: rastie (klesá) to o rovnaký kus, alebo o rovnaké percento?

Teraz ty: chyť správny výsledok.

Zapamätaj si

Sporenie (vklady na začiatku roka) je súčet geometrickej postupnosti: $S_n = a \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ .
Zostatok úveru po $n$ splátkach: $Z_n = Dq^n - a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; z $Z_n = 0$ vyjde anuita $a = D \cdot \frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1}$ .
Rast o rovnaký kus = aritmetická postupnosť, rast o rovnaké percento = geometrická; geometrická s $q > 1$ (a kladnými členmi) nakoniec predbehne každú aritmetickú.
Neznámu v exponente vypočítaš logaritmom; pri $q < 1$ sa pri delení $\log q$ otočí nerovnosť.