Náhodný pokus, jav a klasická pravdepodobnosť

V triede je 30 žiakov, z toho 12 dievčat. Učiteľka náhodne vylosuje dvoch, ktorí pôjdu k tabuli. Aká je šanca, že to budú dve dievčatá? Odhad „asi tretina“ nestačí — do konca lekcie to vypočítaš presne. A rovnako aj šance pri kockách, minciach či číselnom zámku na taške.

Náhodný pokus a jeho výsledky

Náhodný pokus je dej, ktorý môžeš opakovať za rovnakých podmienok, ale jeho výsledok dopredu nepoznáš: hod kockou, hod mincou, losovanie mien z čiapky.

Všetky možné výsledky tvoria množinu výsledkov $\Omega$ (čítaj „omega“):

hod kockou: $\Omega = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$ , teda $|\Omega| = 6$ ,
hod mincou trikrát po sebe ( $H$ = hlava, $Z$ = znak): $\Omega = \lbrace HHH, HHZ, HZH, ZHH,$ $HZZ, ZHZ, ZZH, ZZZ \rbrace$ , $|\Omega| = 2^3 = 8$ ,
hod dvoma kockami (červenou a modrou): dvojice $[r;\ m]$ , $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ .

Symbol $|\Omega|$ znamená počet prvkov množiny.

Jav: istý, nemožný, náhodný

Jav $A$ je tvrdenie o výsledku pokusu. Matematicky je to podmnožina $\Omega$ — všetky výsledky, pri ktorých jav nastane. Tieto výsledky voláme priaznivé.

Pri hode kockou:

„padne párne číslo“: $A = \lbrace 2, 4, 6 \rbrace$ — náhodný jav (môže, ale nemusí nastať),
„padne číslo menšie ako 7“: $A = \Omega$ — istý jav (nastane vždy),
„padne 7“: $A = \emptyset$ — nemožný jav (nenastane nikdy).

Klasická pravdepodobnosť

Ak má pokus konečne veľa výsledkov a všetky sú rovnako možné, pravdepodobnosť javu $A$ je

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{počet priaznivých výsledkov}}{\text{počet všetkých výsledkov}}

Vždy platí $0 \le P(A) \le 1$ . Nemožný jav má $P = 0$ , istý jav $P = 1$ . Pravdepodobnosť môžeš zapísať zlomkom, desatinným číslom aj v percentách: $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%$ .

Príklady: pri hode kockou $P(\text{párne}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(\text{viac ako 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . Pri troch hodoch mincou $P(\text{presne dve hlavy}) = \frac{3}{8}$ (výsledky $HHZ$ , $HZH$ , $ZHH$ ).

Súčty na dvoch kockách nie sú rovnako možné. Súčet môže byť 2 až 12, to je 11 hodnôt. Ale $P(\text{súčet } 7) \ne \frac{1}{11}$ ! Rovnako možných je 36 dvojíc, nie 11 súčtov. Súčet 2 vznikne jediným spôsobom ( $1 + 1$ ), súčet 7 až šiestimi.

červená \ modrá	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Súčet 7 je na uhlopriečke 6-krát: $P(\text{súčet } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . Súčet 12 je v tabuľke raz: $P = \frac{1}{36}$ .

Hra: priraď jav pri hode dvoma kockami k jeho pravdepodobnosti. Pomôž si tabuľkou.

Počítanie výsledkov kombinatorikou

Pri väčších pokusoch výsledky nevypisuješ — spočítaš ich pravidlom súčinu alebo kombináciami.

Z 30 žiakov (12 dievčat, 18 chlapcov) sa náhodne vylosujú dvaja. Aká je pravdepodobnosť, že to budú dve dievčatá?

Poradie nerozhoduje, všetky dvojice sú rovnako možné: $|\Omega| = \binom{30}{2} = \dfrac{30 \cdot 29}{2} = 435$ .
Priaznivé = dvojice z 12 dievčat: $|A| = \binom{12}{2} = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = 66$ .
$P(A) = \dfrac{66}{435} = \dfrac{22}{145} \approx 0{,}152$

Pravdepodobnosť je približne 0,152, teda asi 15 %. Odhad „tretina“ bol príliš optimistický.

Ďalší príklad: taška má číselný zámok s 3 kolieskami (cifry 0–9). Kombinácií je $10^3 = 1000$ , takže náhodný pokus otvorí zámok s pravdepodobnosťou $\frac{1}{1000}$ .

Pravdepodobnosť a pokus. Keď hodíš kockou 600-krát, šestka padne zhruba 100-krát, nie presne. Podiel „koľkokrát nastal jav / počet pokusov“ je relatívna početnosť. Pri veľkom počte pokusov sa blíži k pravdepodobnosti — tak sa dá pravdepodobnosť aj odhadnúť, keď ju nevieš vypočítať.

Z tej istej triedy (12 dievčat, 18 chlapcov) sa vylosujú dvaja. Aká je pravdepodobnosť, že to bude jedno dievča a jeden chlapec?

Ukáž riešenie

$|\Omega| = \binom{30}{2} = 435$ . Priaznivé: dievča vyberieš 12 spôsobmi, chlapca 18 spôsobmi, spolu $12 \cdot 18 = 216$ .

$P = \dfrac{216}{435} = \dfrac{72}{145} \approx 0{,}497$ , teda asi 50 %.

Teraz ty: chyť balónik so správnou pravdepodobnosťou.

Zapamätaj si

Množina všetkých výsledkov je $\Omega$ , jav $A$ je jej podmnožina (priaznivé výsledky).
Klasická pravdepodobnosť: $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$ — len ak sú všetky výsledky rovnako možné.
$0 \le P(A) \le 1$ ; nemožný jav má $P = 0$ , istý jav $P = 1$ .
Pri dvoch kockách počítaj s 36 dvojicami, nie s 11 súčtami.
Pri losovaní skupín počítaj $|\Omega|$ aj $|A|$ kombináciami $\binom{n}{k}$ .

Náhodný pokus, jav a klasická pravdepodobnosť

Náhodný pokus a jeho výsledky

Jav: istý, nemožný, náhodný

Klasická pravdepodobnosť

Počítanie výsledkov kombinatorikou

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí