Opačný jav, zjednotenie a prienik javov

Hráš spoločenskú hru a potrebuješ šestku. Hodíš naraz dvoma kockami. Aká je šanca, že aspoň na jednej bude šestka? Ak to spočítaš ako $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ , si vedľa. Táto lekcia ti ukáže dva triky: počítať „odzadu“ cez opačný jav a nepočítať nič dvakrát.

Opačný jav

Opačný jav $A'$ k javu $A$ nastane práve vtedy, keď $A$ nenastane. Ako množina je to doplnok: $A' = \Omega \setminus A$ . Keďže $|A| + |A'| = |\Omega|$ , platí

P(A') = 1 - P(A)

Ak predpoveď hlási dážď s pravdepodobnosťou 0,35, pravdepodobnosť, že pršať nebude, je $1 - 0{,}35 = 0{,}65$ .
Pri hode dvoma kockami $P(\text{súčet aspoň } 3) = 1 - P(\text{súčet } 2) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ .

Trik „aspoň jeden“

Jav „aspoň jeden“ má veľa prípadov. Jeho opačný jav je „ani jeden“ — a ten má prípad jediný.

Hodíš dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že padne aspoň jedna šestka?

Opačný jav $A'$ : „nepadne ani jedna šestka“. Na každej kocke je 5 iných čísel: $|A'| = 5 \cdot 5 = 25$ .
$P(A') = \frac{25}{36}$
$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306$

Pravdepodobnosť je $\frac{11}{36}$ , približne 31 %. Kontrola v tabuľke z minulej lekcie: šestka je v 6. riadku (6 polí) a v 6. stĺpci (6 polí), pole 6 + 6 je v oboch — spolu $6 + 6 - 1 = 11$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{12}{36}$ je zle. Výsledok „šestka na oboch kockách“ si tak započítal dvakrát. Presne preto existuje vzorec pre zjednotenie v ďalšom bloku.

Zjednotenie a prienik javov

Pre dva javy $A$ , $B$ toho istého pokusu:

zjednotenie $A \cup B$ — nastane aspoň jeden z javov („ $A$ alebo $B$ “),
prienik $A \cap B$ — nastanú oba naraz („ $A$ a zároveň $B$ “).

Pri hode kockou nech $A$ = „padne párne“ $= \lbrace 2, 4, 6 \rbrace$ a $B$ = „padne viac ako 3“ $= \lbrace 4, 5, 6 \rbrace$ . Potom $A \cap B = \lbrace 4, 6 \rbrace$ a $A \cup B = \lbrace 2, 4, 5, 6 \rbrace$ . Pozri sa na to vo Vennovom diagrame:

Keď sčítaš $|A| + |B|$ , prvky prieniku máš dvakrát. Preto

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Overenie: $\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ a naozaj $|A \cup B| = 4$ .

Nezlučiteľné javy

Javy sú nezlučiteľné, ak nemôžu nastať naraz: $A \cap B = \emptyset$ , teda $P(A \cap B) = 0$ . Vtedy sa pravdepodobnosti jednoducho sčítajú:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Kocka: „padne párne“ a „padne 1 alebo 3“ sú nezlučiteľné, $P = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .
Jav a jeho opačný jav sú vždy nezlučiteľné a spolu dajú istý jav: $P(A) + P(A') = 1$ .

V triede je 30 žiakov. 14 chodí do posilňovne, 12 má brigádu a 5 robí oboje. Náhodne vyberieš žiaka. Aká je pravdepodobnosť, že chodí do posilňovne alebo má brigádu? A že nerobí ani jedno?

$P(A \cup B) = \frac{14}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{21}{30} = 0{,}7$
„Ani jedno“ je opačný jav: $1 - 0{,}7 = 0{,}3$

Aspoň jedno: 0,7 (70 %), ani jedno: 0,3 (30 %).

Hra: môžu dva javy nastať naraz? Roztrieď dvojice javov.

Hodíš mincou trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že padne aspoň jedna hlava?

Ukáž riešenie

Opačný jav: „ani jedna hlava“ = ZZZ, jediný výsledok z 8. $P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} =$ 0,875.

Zapamätaj si

Opačný jav: $P(A') = 1 - P(A)$ .
„Aspoň jeden“ počítaj cez opačný jav „ani jeden“.
Zjednotenie (alebo): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Nezlučiteľné javy ( $A \cap B = \emptyset$ ): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Sčítať pravdepodobnosti bez odčítania prieniku smieš len pri nezlučiteľných javoch.