Sčítanie vektorov a násobenie číslom

Na e-kolobežke ideš najprv 400 m na východ, potom 300 m na sever. Kde si skončil vzhľadom na štart? Dve posunutia za sebou sú jedno posunutie — ich súčet. A keď ideš rovnakým smerom dvakrát dlhšie, vektor sa násobí číslom. Presne takto sa skladajú aj sily a rýchlosti.

Sčítanie: nadväzuj šípky

Graficky: druhý vektor umiestni tam, kde prvý končí. Súčet ide zo začiatku prvého na koniec druhého. Rovnaký výsledok dá rovnobežník — oba vektory zo spoločného bodu a súčet je uhlopriečka (tak sa skladajú sily vo fyzike).

V súradniciach sa sčítava po zložkách:

Kolobežka z úvodu: $(400;\ 0) + (0;\ 300) = (400;\ 300)$, vzdušnou čiarou od štartu $\sqrt{400^2 + 300^2} = 500\,\mathrm{m}$.

Rozdiel je súčet s opačným vektorom: $\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v) = (u_1 - v_1;\ u_2 - v_2)$. Preto aj $\vec{AB} = B - A$: z $A$ do $B$ sa dostaneš ako „z $A$ do počiatku a z počiatku do $B$“.

Vyskúšaj si to: simulácia skladá dve sily, ale je to presne sčítanie vektorov metódou rovnobežníka. Nastav $F_1 = 4$, $F_2 = 3$ a uhol 90° — výslednica je $\sqrt{16 + 9} = 5$. Pri uhle 0° vyjde $4 + 3 = 7$, pri 180° len $4 - 3 = 1$.

Násobenie vektora číslom

Vynásob obe súradnice: $k \cdot \vec u = (k u_1;\ k u_2)$. Veľkosť sa zmení $|k|$-krát: $|k\vec u| = |k| \cdot |\vec u|$.

• $k > 0$: rovnaký smer (rýchlosť 2-krát väčšia = vektor 2-krát dlhší),
• $k < 0$: opačný smer, $(-1)\cdot\vec u = -\vec u$,
• $k = 0$: nulový vektor.

Pre $\vec u = (3;\ -2)$: $2\vec u = (6;\ -4)$, $-\vec u = (-3;\ 2)$, $\frac12 \vec u = (1{,}5;\ -1)$.

Dva nenulové vektory sú kolineárne (rovnobežné), ak jeden je násobkom druhého: $\vec v = k\vec u$. Napríklad $(-6;\ 9) = -3 \cdot (2;\ -3)$, áno. Vektory $(4;\ 6)$ a $(6;\ 10)$ nie: $\frac64 = 1{,}5$, ale $\frac{10}{6} \ne 1{,}5$.

Lineárna kombinácia

Súčet násobkov, napríklad $2\vec u - 3\vec v$, je lineárna kombinácia. Počítaš po zložkách, krok za krokom.

Teraz ty

Zapamätaj si

• $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1;\ u_2 + v_2)$ — graficky nadväzovanie alebo rovnobežník.
• $k\vec u = (k u_1;\ k u_2)$, $\ |k\vec u| = |k| \cdot |\vec u|$; záporné $k$ otočí smer.
• $|\vec u + \vec v| \le |\vec u| + |\vec v|$ — veľkosti sa vo všeobecnosti nesčítavajú.
• Kolineárne vektory: $\vec v = k\vec u$.
• Ťažisko: $T\left[\frac{a_1 + b_1 + c_1}{3};\ \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right]$.