Súradnice bodu a vektora, veľkosť vektora

Navigácia v mobile ti nepovie len „choď do školy“, ale „300 m na východ a 400 m na sever“. To je vektor: posunutie, ktoré má smer aj dĺžku. Hry, mapy, GPS aj fyzika (sila, rýchlosť) počítajú presne s ním. Za 10 minút zvládneš z dvoch bodov vypočítať, kam a ako ďaleko.

Bod a jeho súradnice

V pravouhlej súradnicovej sústave zapisujeme bod s hranatými zátvorkami: $A[a_1;\ a_2]$ . Prvá súradnica hovorí, o koľko je bod vpravo od počiatku, druhá, o koľko je hore. Záporné súradnice znamenajú vľavo a dole.

Na mape v mobile je to rovnaké: pozícia = dve čísla. Herná postava v 2D hre má tiež len súradnice $[x;\ y]$ .

Vzdialenosť dvoch bodov je Pytagorova veta v súradniciach:

|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}

Stred úsečky $AB$ je priemer súradníc:

S\left[\frac{a_1 + b_1}{2};\ \frac{a_2 + b_2}{2}\right]

Vektor = posunutie

Vektor $\vec{AB}$ hovorí, ako sa dostaneš z bodu $A$ do bodu $B$ . Jeho súradnice zapisujeme okrúhlymi zátvorkami:

\vec{AB} = B - A = (b_1 - a_1;\ b_2 - a_2)

Pravidlo: koniec mínus začiatok.

Z bodu $A[1;\ 1]$ do $B[5;\ 4]$ ideš o 4 vpravo a o 3 hore: $\vec{AB} = (4;\ 3)$ . Z bodu $C[2;\ 3]$ do $D[6;\ 6]$ je to isté posunutie, preto $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec u$ .

Šípky $\vec{AB}$ a $\vec{CD}$ sú len dve umiestnenia toho istého vektora $\vec u = (4;\ 3)$ . Vektor nemá pevné miesto, má len smer a dĺžku. Presne ako pokyn „4 bloky na východ a 3 na sever“: platí z ktoréhokoľvek miesta.

Veľkosť vektora

Veľkosť (dĺžka) vektora $\vec u = (u_1;\ u_2)$ je opäť Pytagorova veta:

|\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

Pre $\vec u = (4;\ 3)$ : $|\vec u| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ . Vzdialenosť bodov je teda veľkosť vektora medzi nimi: $|AB| = |\vec{AB}|$ .

Tri vektory s menom:

nulový vektor $\vec o = (0;\ 0)$ — žiadne posunutie, veľkosť 0,
opačný vektor $-\vec u = (-u_1;\ -u_2)$ — rovnaká dĺžka, opačný smer; $\vec{BA} = -\vec{AB}$ ,
jednotkový vektor má veľkosť 1, napríklad $(0{,}6;\ 0{,}8)$ , lebo $\sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = 1$ .

Na mape v mobile je 1 dielik siete 100 m. Ty stojíš v bode $A[-2;\ 1]$ , kamarát v bode $B[4;\ 9]$ . Ako ďaleko ste vzdušnou čiarou a kde je stred cesty?

Vektor: $\vec{AB} = (4 - (-2);\ 9 - 1) = (6;\ 8)$
Veľkosť: $|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ dielikov
V metroch: $10 \cdot 100\,\mathrm{m} = 1\,000\,\mathrm{m}$
Stred: $S\left[\frac{-2 + 4}{2};\ \frac{1 + 9}{2}\right] = [1;\ 5]$

Ste od seba 1 km a stretnúť sa v strede môžete v bode $S[1;\ 5]$ .

Dve časté chyby. 1) Súradnice vektora sú $B - A$ , nie $A - B$ . Keď ich vymeníš, dostaneš opačný vektor $\vec{BA}$ — správnu dĺžku, ale zlý smer. 2) Veľkosť nie je súčet súradníc: pre $(6;\ 8)$ je $|\vec u| = 10$ , nie $6 + 8 = 14$ . Cesta „po blokoch“ je dlhšia ako vzdušná čiara.

a) Daný je bod $A[3;\ -1]$ a $B[-1;\ 2]$ . Vypočítaj $\vec{AB}$ , $|AB|$ a stred úsečky $AB$ . b) Aká je veľkosť vektora $(-5;\ 12)$ ? c) Z bodu $A[1;\ 3]$ sa posunieš o vektor $\vec u = (2;\ -5)$ . V ktorom bode skončíš?

Ukáž riešenie

a) $\vec{AB} = (-1 - 3;\ 2 - (-1)) = (-4;\ 3)$ , $\ |AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$ , $\ S\left[\frac{3 + (-1)}{2};\ \frac{-1 + 2}{2}\right] = [1;\ 0{,}5]$ .

b) $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

c) $B = A + \vec u = [1 + 2;\ 3 + (-5)] = [3;\ -2]$ .

Teraz ty

Chyť balónik so správnou odpoveďou. Pozor, zlé balóniky obsahujú presne tie chyby, ktoré sa robia najčastejšie.

Zapamätaj si

Bod $A[a_1;\ a_2]$ , vektor $\vec u = (u_1;\ u_2)$ — vektor je posunutie, nie miesto.
$\vec{AB} = B - A = (b_1 - a_1;\ b_2 - a_2)$ — koniec mínus začiatok.
$|\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ a vzdialenosť bodov $|AB| = |\vec{AB}|$ .
Stred úsečky: $S\left[\frac{a_1 + b_1}{2};\ \frac{a_2 + b_2}{2}\right]$ .
$\vec{BA} = -\vec{AB}$ ; nulový vektor $\vec o = (0;\ 0)$ .