Skalárny súčin a uhol dvoch vektorov

Ako hra zistí, či ťa postava „vidí“, teda či stojíš pred ňou, alebo za jej chrbtom? Nepočíta žiadne uhly v stupňoch — vynásobí dva vektory a pozrie sa na znamienko. Tomu súčinu sa hovorí skalárny súčin a v analytickej geometrii ho budeš používať stále: na uhly, kolmosť aj vzdialenosti.

Skalárny súčin v súradniciach

Pre $\vec u = (u_1;\ u_2)$ a $\vec v = (v_1;\ v_2)$ :

\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2

Násobíš prvú s prvou, druhú s druhou a sčítaš. Výsledok je číslo (skalár), nie vektor. Napríklad $(3;\ 1) \cdot (1;\ 2) = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$ .

Užitočné: $\vec u \cdot \vec u = u_1^2 + u_2^2 = |\vec u|^2$ . Pre $(3;\ 4)$ je to $25$ , teda $|\vec u| = 5$ .

Uhol dvoch vektorov

Ten istý súčin sa dá vyjadriť cez veľkosti a uhol $\varphi$ , ktorý vektory zvierajú, keď ich umiestniš do spoločného začiatku:

\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos\varphi

\Rightarrow

\cos\varphi = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

Uhol dvoch nenulových vektorov je vždy z intervalu $\langle 0°;\ 180°\rangle$ .

$\vec u = (3;\ 1)$ a $\vec v = (1;\ 2)$ zo spoločného začiatku zvierajú uhol $\varphi = 45°$ .

Vypočítaj uhol vektorov $\vec u = (3;\ 1)$ a $\vec v = (1;\ 2)$ .

$\vec u \cdot \vec v = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$
$|\vec u| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ , $\ |\vec v| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$\cos\varphi = \dfrac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt2}{2}$
$\varphi = 45°$

Vektory zvierajú uhol 45°.

Keď kosínus nie je „pekné“ číslo, pomôže kalkulačka (v režime DEG): pre $(4;\ 3)$ a $(5;\ -12)$ je $\cos\varphi = \frac{20 - 36}{5 \cdot 13} = -\frac{16}{65} \approx -0{,}246$ , teda $\varphi \approx 104{,}25°$ .

Kolmé vektory

$\cos 90° = 0$ , preto:

\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0

Kolmý vektor k $(u_1;\ u_2)$ nájdeš rýchlo: vymeň súradnice a pri jednej zmeň znamienko, $(-u_2;\ u_1)$ . Skúška pre $(3;\ 5)$ a $(-5;\ 3)$ : $-15 + 15 = 0$ . Tento trik využiješ pri rovnici priamky.

Pre aké $a$ sú vektory $(a;\ 4)$ a $(6;\ -3)$ kolmé?

Podmienka: skalárny súčin je nula.
$6a + 4 \cdot (-3) = 0$
$6a - 12 = 0$

$a = 2$

Znamienko prezradí uhol

$\vec u \cdot \vec v$	uhol $\varphi$
$\gt 0$	ostrý ( $0° \lt \varphi \lt 90°$ ), pri rovnakom smere $0°$
$= 0$	pravý ( $90°$ )
$\lt 0$	tupý ( $90° \lt \varphi \lt 180°$ ), pri opačnom smere $180°$

Späť k hre: postava sa pozerá smerom $\vec d = (2;\ 1)$ . Hráč je od nej vo vektore $\vec p = (-1;\ 3)$ : $\vec d \cdot \vec p = -2 + 3 = 1 \gt 0$ , uhol je ostrý — hráč je pred ňou. Pre $\vec p = (-3;\ 1)$ vyjde $-6 + 1 = -5 \lt 0$ — hráč je za jej chrbtom.

Typické chyby. 1) Výsledok nie je vektor: $(2;\ 3) \cdot (4;\ -1) = 8 - 3 = 5$ , nie $(8;\ -3)$ . 2) Pozor na znamienka — $(-1;\ 5) \cdot (2;\ 2) = -2 + 10 = 8$ . 3) Uhol vektorov môže byť aj tupý, až 180°. Keď vyjde kosínus záporný, uhol je tupý — nenahrádzaj ho ostrým uhlom $180° - \varphi$ .

Roztrieď dvojice vektorov podľa uhla, ktorý zvierajú — stačí znamienko skalárneho súčinu.

Trojuholník má vrcholy $A[1;\ 2]$ , $B[4;\ 6]$ , $C[5;\ -1]$ . Je pravouhlý? Ak áno, pri ktorom vrchole? Aký je to trojuholník podľa strán?

Ukáž riešenie

$\vec{AB} = (3;\ 4)$ , $\vec{AC} = (4;\ -3)$ , $\ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12 - 12 = 0$ , teda uhol pri vrchole $A$ je pravý. Navyše $|AB| = |AC| = 5$ , takže je to rovnoramenný pravouhlý trojuholník (prepona $|BC| = \sqrt{1 + 49} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07$ ).

Teraz ty

Zapamätaj si

$\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2$ — výsledok je číslo.
$\cos\varphi = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ , uhol vektorov je z $\langle 0°;\ 180°\rangle$ .
$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ ; kolmý vektor k $(u_1;\ u_2)$ je $(-u_2;\ u_1)$ .
Súčin kladný = ostrý uhol (alebo $0°$ ), nula = pravý, záporný = tupý (alebo $180°$ pri opačnom smere).
$\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2$ .