Vektory v praxi: sily a rýchlosti

Kajak pádluje rovno k druhému brehu, ale prúd ho unáša. Dvaja kamaráti ťahajú auto z blata dvoma lanami šikmo. Dron letí na východ a vietor fúka z boku. Vo všetkých troch prípadoch funguje rovnaký trik: zapíš všetko ako vektory, sčítaj súradnice a až na konci počítaj veľkosť.

Sila v súradniciach

Sila s veľkosťou $F$ , ktorá zviera s kladnou osou $x$ uhol $\alpha$ , má súradnice

\vec F = (F\cos\alpha;\ F\sin\alpha)

Výslednica viacerých síl je ich vektorový súčet: $\vec F_v = \vec F_1 + \vec F_2 + \dots$

Dvaja kamaráti ťahajú auto z blata dvoma lanami. Každý ťahá silou 500 N, laná zvierajú so smerom auta uhol 30° — jedno vľavo, druhé vpravo. Aká je výslednica?

Os $x$ dáme v smere auta: $\vec F_1 = (500\cos 30°;\ 500\sin 30°) \approx (433{,}0;\ 250)\,\mathrm{N}$
$\vec F_2 = (500\cos(-30°);\ 500\sin(-30°)) \approx (433{,}0;\ -250)\,\mathrm{N}$
$\vec F_v = \vec F_1 + \vec F_2 \approx (866{,}0;\ 0)\,\mathrm{N}$ — bočné zložky sa vyrušia

$F_v = 1\,000 \cdot \cos 30° = 500\sqrt3 \approx 866\,\mathrm{N}$ , nie $1\,000\,\mathrm{N}$ .

Overíš si to v simulácii v mierke 1 : 100: nastav $F_1 = F_2 = 5\,\mathrm{N}$ a uhol medzi silami 60°. Výslednica vyjde $8{,}66\,\mathrm{N}$ .

A súradnice jednej sily z veľkosti a uhla: zadaj $F = 500$ , $\alpha = 30°$ .

Rovnováha síl

Teleso je v rovnováhe (stojí alebo ide rovnomerne priamočiaro), keď je výslednica nulová: $\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = \vec o$ . Chýbajúcu silu dopočítaš ako opačný vektor súčtu ostatných: $\vec F_3 = -(\vec F_1 + \vec F_2)$ .

Na krabicu pôsobia sily $\vec F_1 = (3;\ 4)\,\mathrm{N}$ a $\vec F_2 = (-7;\ 1)\,\mathrm{N}$ . Akou silou $\vec F_3$ ju treba ťahať, aby bola v rovnováhe? Aká je jej veľkosť?

Ukáž riešenie

$\vec F_1 + \vec F_2 = (-4;\ 5)\,\mathrm{N}$ , preto $\vec F_3 = (4;\ -5)\,\mathrm{N}$ a $F_3 = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6{,}40\,\mathrm{N}$ .

Rýchlosti sa skladajú tiež

Rýchlosť voči brehu = rýchlosť voči vode + rýchlosť prúdu. Rovnako dron: rýchlosť voči zemi = rýchlosť voči vzduchu + rýchlosť vetra.

Kajak pádluje kolmo k brehu rýchlosťou 2 m/s, prúd ho unáša rýchlosťou 1,5 m/s. Voči brehu ide šikmo rýchlosťou 2,5 m/s.

Rieka je široká 40 m. Kajak pádluje kolmo k brehu rýchlosťou 2 m/s voči vode, prúd tečie rýchlosťou 1,5 m/s. Aká je rýchlosť kajaku voči brehu, ako dlho trvá prejazd a o koľko ho prúd unesie?

Os $x$ po prúde, os $y$ cez rieku: $\vec v = (0;\ 2) + (1{,}5;\ 0) = (1{,}5;\ 2)\,\mathrm{m/s}$
$|\vec v| = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\mathrm{m/s}$
Cez rieku ide len zložka $2\,\mathrm{m/s}$ : $t = \dfrac{40\,\mathrm{m}}{2\,\mathrm{m/s}} = 20\,\mathrm{s}$
Po prúde: $1{,}5\,\mathrm{m/s} \cdot 20\,\mathrm{s} = 30\,\mathrm{m}$

Kajak ide rýchlosťou 2,5 m/s, na druhý breh dorazí za 20 s, 30 m nižšie po prúde.

Dron letí voči vzduchu rýchlosťou $(8;\ 0)\,\mathrm{m/s}$ na východ a vietor fúka $(0;\ -6)\,\mathrm{m/s}$ na juh. Voči zemi letí rýchlosťou $(8;\ -6)\,\mathrm{m/s}$ , teda $\sqrt{64 + 36} = 10\,\mathrm{m/s}$ , a šikmo na juhovýchod.

Rýchlosti nesčítavaj ako čísla. Kajak nejde $2 + 1{,}5 = 3{,}5\,\mathrm{m/s}$ ani $2 - 1{,}5 = 0{,}5\,\mathrm{m/s}$ — to by platilo, len keby prúd tiekol rovnakým alebo opačným smerom. Pri kolmých smeroch rozhoduje Pytagorova veta: $2{,}5\,\mathrm{m/s}$ .

Práca ako skalárny súčin

Mechanická práca je skalárny súčin sily a posunutia:

W = \vec F \cdot \vec s = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos\alpha

To je presne vzorec $W = Fs\cos\alpha$ z fyziky. V súradniciach netreba poznať uhol.

Sane ťaháš za lano silou $\vec F = (40;\ 30)\,\mathrm{N}$ a prejdeš $\vec s = (25;\ 0)\,\mathrm{m}$ po rovine. Akú prácu vykonáš?

$W = \vec F \cdot \vec s = 40 \cdot 25 + 30 \cdot 0 = 1\,000\,\mathrm{J}$
Kontrola cez uhol: $|\vec F| = \sqrt{1\,600 + 900} = 50\,\mathrm{N}$ , $\cos\alpha = \frac{40}{50} = 0{,}8$ , $\ 50 \cdot 25 \cdot 0{,}8 = 1\,000\,\mathrm{J}$

Vykonáš prácu 1 000 J = 1 kJ. Zvislá zložka 30 N prácu nekoná — je kolmá na posunutie.

Sila kolmá na posunutie koná nulovú prácu (skalárny súčin je 0): keď nesieš tašku vodorovne po chodbe, sila tvojej ruky (hore) prácu na taške nekoná. Sila proti pohybu (trenie, brzdenie) dá zápornú prácu — uhol je tupý.

Teraz ty

Zapamätaj si

Sila z veľkosti a uhla: $\vec F = (F\cos\alpha;\ F\sin\alpha)$ .
Výslednica = vektorový súčet; rovnováha: $\vec F_1 + \vec F_2 + \dots = \vec o$ .
Rýchlosti sa skladajú vektorovo: $\vec v = \vec v_{\text{voči vode}} + \vec v_{\text{prúdu}}$ .
Práca: $W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\alpha$ ; kolmá sila prácu nekoná.
Najprv sčítaj súradnice, veľkosť počítaj až na konci.

Vektory v praxi: sily a rýchlosti

Sila v súradniciach

Rovnováha síl

Rýchlosti sa skladajú tiež

Práca ako skalárny súčin

Teraz ty

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí