Miery polohy: priemer, medián, modus, kvartily

„Spolužiaci si cez leto na brigáde zarobili priemerne 300 € mesačne.“ Pritom 7 z 12 zarobilo menej a viac len 4. Ako je to možné? Jedno číslo vie súbor opísať aj poriadne skresliť. Priemer, medián a modus poznáš z 9. ročníka — tu ich budeš počítať aj z tabuľky a pridáš kvartily, ktoré ukážu, kde leží prostredná polovica údajov.

Priemer a vážený priemer

Pre hodnoty $x_1, x_2, \dots, x_n$ :

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

Ak sa hodnoty opakujú a máš ich v tabuľke početností (hodnota $x_i$ sa vyskytne $n_i$ -krát), počítaš vážený priemer — každú hodnotu vynásobíš jej početnosťou:

\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n},

n = n_1 + n_2 + \dots + n_k

Známky z písomky v triede s 24 študentmi:

známka $x_i$	1	2	3	4	5
počet $n_i$	4	7	8	3	2

\bar{x} = \frac{4 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5}{24} = \frac{64}{24} \doteq \mathbf{2{,}67}

Modus je 3 (najväčšia početnosť, 8). Delíš počtom študentov 24, nie počtom známok 5.

Medián

Medián $\tilde{x}$ je prostredná hodnota zoradeného súboru. Pri nepárnom $n$ je to hodnota na mieste $\frac{n+1}{2}$ , pri párnom $n$ priemer dvoch prostredných hodnôt (na miestach $\frac{n}{2}$ a $\frac{n}{2} + 1$ ).

Z tabuľky známok: $n = 24$ , prostredné sú 12. a 13. hodnota. Kumulatívne početnosti sú 4, 11, 19, … — 12. až 19. hodnota je trojka. Medián je $\frac{3 + 3}{2} =$ 3.

Výplaty z brigády (€ za mesiac) 12 študentov, už zoradené: 120, 150, 180, 200, 200, 240, 260, 300, 320, 350, 400, 880.

priemer: $\bar{x} = \frac{3\,600}{12} =$ 300 €
medián: $\tilde{x} = \frac{240 + 260}{2} =$ 250 €
modus: 200 €

Jediná výplata 880 € potiahla priemer nahor — menej ako 300 € zarobilo 7 študentov a presne 300 € ôsmy. Bez nej by priemer klesol na $\frac{2\,720}{11} \doteq 247{,}27$ €, medián by bol 240 €. Medián na extrémnu hodnotu takmer nereaguje.

Kvartily

Medián delí zoradený súbor na dve polovice. Kvartily ho delia na štyri štvrtiny:

dolný kvartil $Q_1$ = medián dolnej polovice — asi štvrtina hodnôt je menších,
medián $\tilde{x}$ (niekedy $Q_2$ ),
horný kvartil $Q_3$ = medián hornej polovice — asi štvrtina hodnôt je väčších.

Medzi $Q_1$ a $Q_3$ leží prostredná polovica údajov. Pri nepárnom $n$ sa medián nepočíta ani do jednej polovice.

Kvartily výplat: dolná polovica 120, 150, 180, 200, 200, 240 → $Q_1 = \frac{180 + 200}{2} =$ 190 €; horná polovica 260, 300, 320, 350, 400, 880 → $Q_3 = \frac{320 + 350}{2} =$ 335 €.

Takže prostredná polovica študentov zarobila 190 € až 335 €.

Najprv zoradiť! Medián ani kvartily nikdy neurčuj z nezoradeného zoznamu. A pozor: kvartily sa dajú počítať viacerými spôsobmi, kalkulačka alebo tabuľkový procesor ti pri niektorých súboroch môže dať trochu iné číslo. V úlohách postupuj podľa zadania; ak nie je určené, použi „medián polovice“.

Počet minút, ktoré 8 kamarátov strávilo včera v hre: 17, 21, 9, 25, 14, 30, 12, 19. Urči medián, $Q_1$ a $Q_3$ .

Ukáž riešenie

Zoradené: 9, 12, 14, 17, 19, 21, 25, 30.

Medián: $\frac{17 + 19}{2} =$ 18 min. Dolná polovica 9, 12, 14, 17 → $Q_1 = \frac{12 + 14}{2} =$ 13 min. Horná polovica 19, 21, 25, 30 → $Q_3 = \frac{21 + 25}{2} =$ 23 min.

Hra: chyť správny kvartil alebo medián.

Trenažér: medián párneho súboru, chýbajúca hodnota pri danom priemere, vážený priemer a medián z tabuľky (prepni na Ťažké).

Zapamätaj si

Priemer $\bar{x} = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ ; vážený priemer z tabuľky $\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ — deliť počtom všetkých hodnôt.
Medián = prostredná hodnota zoradeného súboru, pri párnom $n$ priemer dvoch prostredných.
Modus = najčastejšia hodnota.
$Q_1$ = medián dolnej polovice, $Q_3$ = medián hornej polovice; medzi nimi je prostredná polovica údajov.
Extrémne hodnoty posúvajú priemer, medián a kvartily takmer nie — pri výplatách a cenách sa viac hodí medián.