Miery variability: rozptyl a smerodajná odchýlka

Vyberáš si e-kolobežku. Dva modely majú v teste rovnaký priemerný dojazd 30 km na jedno nabitie. Prvý však ujde vždy 28 až 32 km, druhý raz 22 km a inokedy 38 km. S ktorým sa odvážiš na výlet, kde potrebuješ 26 km? Priemer ti to nepovie — potrebuješ číslo, ktoré meria, ako veľmi sú hodnoty rozhádzané.

Variačné rozpätie

Najjednoduchšia miera variability je variačné rozpätie $R$ — rozdiel najväčšej a najmenšej hodnoty:

R = x_{\max} - x_{\min}

Dojazd kolobežky A v piatich jazdách: 28, 30, 31, 29, 32 km → $R = 32 - 28 = 4$ km. Kolobežka B: 22, 38, 30, 25, 35 km → $R = 38 - 22 = 16$ km.

Rozpätie sa počíta ľahko, ale závisí len od dvoch krajných hodnôt. Jedna nezvyčajná jazda (vybitá batéria v zime) ho úplne zmení. Preto potrebujeme mieru, ktorá berie do úvahy všetky hodnoty.

Obe kolobežky majú priemer 30 km. Body A sú tesne pri priemere, body B ďaleko od neho.

Rozptyl

Pre každú hodnotu zistíme odchýlku od priemeru $x_i - \bar{x}$ . Odchýlky nemôžeme len sčítať — kladné a záporné sa vždy vyrušia na nulu. Preto ich umocníme na druhú a urobíme z nich priemer. To je rozptyl súboru:

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}

Kolobežka A: 28, 30, 31, 29, 32 km, priemer $\bar{x} = 30$ km.

$x_i$	28	30	31	29	32
$x_i - \bar{x}$	−2	0	1	−1	2
$(x_i - \bar{x})^2$	4	0	1	1	4

s^2 = \frac{4 + 0 + 1 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = \mathbf{2\,km^2}

Kolobežka B: odchýlky −8, 8, 0, −5, 5, ich štvorce 64, 64, 0, 25, 25:

s^2 = \frac{178}{5} = \mathbf{35{,}6\,km^2}

Smerodajná odchýlka

Rozptyl má štvorcovú jednotku (km²), s ktorou sa zle porovnáva. Preto ho odmocníme — dostaneme smerodajnú odchýlku v tej istej jednotke ako údaje:

s = \sqrt{s^2}

Kolobežka A: $s = \sqrt{2} \doteq$ 1,41 km, kolobežka B: $s = \sqrt{35{,}6} \doteq$ 5,97 km.

Smerodajná odchýlka hovorí, o koľko sa hodnoty typicky líšia od priemeru. Kolobežka A ujde „30 km, plus-mínus asi 1,4 km“ — na výlet s 26 km je spoľahlivejšia. Ak je $s = 0$ , všetky hodnoty sú rovnaké.

Výpočtový vzorec — rýchlejší pri veľa číslach alebo z kalkulačky:

s^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2

Kolobežka A: $28^2 + 30^2 + 31^2 + 29^2 + 32^2 = 4\,510$ , $s^2 = \frac{4\,510}{5} - 30^2 = 902 - 900 = 2$ ✓

Delíš $n$ , alebo $n - 1$ ? V tejto lekcii počítame rozptyl celého súboru, teda delíme $n$ (počtom hodnôt). Keď z výberu odhaduješ variabilitu celého základného súboru, používa sa výberová smerodajná odchýlka, ktorá delí $n - 1$ — pre kolobežku A by vyšla $\sqrt{10 : 4} \doteq 1{,}58$ km. Kalkulačky a tabuľkové procesory majú obe verzie (podľa typu označené $\sigma_x$ a $s_x$ alebo $\sigma_n$ a $\sigma_{n-1}$ ; v tabuľkovom procesore funkcie s koncovkou P a S). Pri riešení úloh si vždy over, ktorú verziu zadanie chce.

Posun a zmena mierky

Ak ku každej hodnote pripočítaš to isté číslo $c$ , priemer sa zväčší o $c$ , ale rozptyl ani smerodajná odchýlka sa nezmenia — hodnoty sa posunuli, ale nie roztiahli. Všetci brigádnici dostanú odmenu 20 € → $s$ výplat ostane rovnaká.
Ak každú hodnotu vynásobíš kladným číslom $k$ , smerodajná odchýlka sa zväčší $k$ -krát a rozptyl $k^2$ -krát. Dojazd A v metroch namiesto kilometrov: $s = 1\,000 \cdot \sqrt{2} \doteq 1\,414$ m.

Napätie piatich nabíjačiek namerané multimetrom: 4,9 V; 5,0 V; 5,1 V; 4,8 V; 5,2 V. Vypočítaj priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

Ukáž riešenie

$\bar{x} = \frac{25{,}0}{5} = 5{,}0$ V. Odchýlky: −0,1; 0; 0,1; −0,2; 0,2. Štvorce: 0,01; 0; 0,01; 0,04; 0,04, súčet 0,10.

$s^2 = \frac{0{,}10}{5} =$ 0,02 V², $s = \sqrt{0{,}02} \doteq$ 0,14 V.

Hra: chyť správny rozptyl alebo smerodajnú odchýlku (delíme $n$ ).

Zapamätaj si

Variačné rozpätie $R = x_{\max} - x_{\min}$ závisí len od dvoch krajných hodnôt.
Rozptyl súboru $s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$ , výpočtovo $s^2 = \frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2$ .
Smerodajná odchýlka $s = \sqrt{s^2}$ má jednotku údajov a hovorí, o koľko sa hodnoty typicky líšia od priemeru.
Výberová smerodajná odchýlka delí $n - 1$ — v zadaní si over, ktorá sa chce.
Pripočítanie čísla $s$ nemení; násobenie číslom $k > 0$ zväčší $s$ $k$ -krát a rozptyl $k^2$ -krát.