Interpretácia údajov: krabicový graf a zavádzajúce grafy

Dve triedy písali rovnaký test nanečisto k maturite. Priemer majú takmer rovnaký: 17,67 a 17,5 bodu. Znamená to, že sú na tom rovnako? Krabicový graf ti na jeden pohľad ukáže, ako sú body rozložené — a v druhej časti sa naučíš rozpoznať graf, ktorý ťa chce presvedčiť, nie informovať.

Päť čísel a krabica

Päťčíselná charakteristika súboru: minimum, dolný kvartil $Q_1$, medián $\tilde{x}$, horný kvartil $Q_3$, maximum. Krabicový graf ju nakreslí nad číselnou osou:

• krabica siaha od $Q_1$ po $Q_3$ — je v nej prostredná polovica hodnôt,
• čiara v krabici je medián,
• fúzy (úsečky) vedú od krabice k minimu a k maximu.

Dĺžka krabice je interkvartilové rozpätie $IQR = Q_3 - Q_1$. Na rozdiel od variačného rozpätia $R = x_{\max} - x_{\min}$ si ho jedna extrémna hodnota nepokazí.

Ako čítať krabicový graf

• Poloha: mediány sú skoro rovnaké (17,5 a 18), typický študent oboch tried má podobný výsledok.
• Prostredná polovica: krabica 4.B je skoro o polovicu kratšia ($IQR$ 4,5 oproti 8) — väčšina triedy B je vyrovnaná, zhruba prostredná polovica študentov má 15,5 až 20 bodov (krabica je od $Q_1$ po $Q_3$).
• Krajné hodnoty: 4.B má napriek tomu väčšie rozpätie (24 oproti 20) — dlhé fúzy spôsobili najmä dvaja študenti (5 a 29 bodov).
• Štvrtiny: pod $Q_1$ je asi 25 % hodnôt, medzi $Q_1$ a mediánom 25 %, medzi mediánom a $Q_3$ 25 %, nad $Q_3$ 25 %. Dlhší úsek neznamená viac hodnôt — znamená, že sú tam viac rozhádzané.

Hra: spoj časť krabicového grafu s tým, čo znamená.

Zavádzajúce grafy

Graf môže mať správne čísla, a predsa klamať. Najčastejšie triky:

• Os nezačína nulou. Spokojnosť zákazníkov stúpla z 96 % na 98 % — o 2 percentuálne body. Ak os začína na 95 %, druhý stĺpec je $\frac{98 - 95}{96 - 95} = 3$-krát vyšší a vyzerá to na obrovský skok.
• Obrázok namiesto stĺpca. Ak sa ikona auta zväčší dvakrát do výšky aj do šírky, jej plocha je $2 \cdot 2 = 4$-krát väčšia — oko vidí štvornásobok, hoci údaj sa len zdvojnásobil.
• Počty namiesto podielov. „V meste A bolo 300 nehôd, v meste B len 100.“ Ak má A päťkrát viac obyvateľov, je na tom vlastne lepšie. Rôzne veľké súbory porovnávaj v percentách alebo na 1 000 obyvateľov.
• Priemer tam, kde patrí medián. „Priemerná výplata je 1 710 €“ — pri deviatich mzdách po 900 € a jednej 9 000 € je medián 900 €.
• Súvislosť nie je príčina. V lete sa predá viac zmrzliny aj sa stane viac úrazov pri vode. Zmrzlina úrazy nespôsobuje — obe veci súvisia s teplým počasím.

Hra: je graf alebo záver poctivý, alebo zavádzajúci?

Hra: chyť správnu odpoveď z päťčíselnej charakteristiky.

Zapamätaj si

• Päťčíselná charakteristika: minimum, $Q_1$, medián, $Q_3$, maximum — z nej sa kreslí krabicový graf.
• Krabica od $Q_1$ po $Q_3$ obsahuje prostrednú polovicu hodnôt, čiara v nej je medián, fúzy vedú k minimu a maximu.
• Interkvartilové rozpätie $IQR = Q_3 - Q_1$ meria variabilitu a extrémne hodnoty ho nepokazia.
• Zavádzajúci graf: os nezačína nulou, ikony namiesto stĺpcov, počty namiesto podielov, priemer namiesto mediánu.
• Súvislosť dvoch veličín ešte neznamená, že jedna spôsobuje druhú.