Priemer, modus a medián

„Moji kamaráti majú priemerne skoro 800 sledovateľov.“ Znie to dobre, ale šiesti zo siedmich ich majú najviac 210. Jedno číslo vie súbor opísať aj poriadne skresliť. Naučíš sa tri také čísla — priemer, modus a medián — a kedy ktoré použiť. V Testovaní 9 aj vo fyzike (priemer z meraní) ich budeš potrebovať.

Priemer a modus — rýchle zopakovanie

\text{aritmetický priemer} = \frac{\text{súčet všetkých hodnôt}}{\text{počet hodnôt}}

Modus = hodnota, ktorá sa vyskytuje najčastejšie. Funguje aj pri slovnom znaku (najčastejší žáner hudby).

Body z testu ôsmich žiakov: 12, 15, 18, 18, 20, 22, 25, 28.

Priemer: $\frac{12 + 15 + 18 + 18 + 20 + 22 + 25 + 28}{8} = \frac{158}{8} =$ 19,75 bodu

Modus: 18 (vyskytuje sa dvakrát, ostatné hodnoty raz).

Medián pri nepárnom počte hodnôt

Medián je prostredná hodnota, keď údaje zoradíš podľa veľkosti. Polovica hodnôt je menšia alebo rovnaká, polovica väčšia alebo rovnaká.

Počty sledovateľov siedmich kamarátov: 120, 85, 210, 150, 95, 4 800, 130.

Najprv zoradiť, potom vybrať prostrednú. Pri 7 hodnotách je to 4. hodnota — tri sú pred ňou, tri za ňou.

Medián: 130 sledovateľov.
Priemer: $5\,590 : 7 \approx$ 799 — menej ako priemer má až 6 zo 7 kamarátov. Jeden veľký profil (4 800) potiahol priemer hore, medián si ho skoro nevšimol.

Pri nepárnom počte $n$ hodnôt je medián hodnota na mieste $\frac{n+1}{2}$ (pri $n = 7$ je to 4. miesto).

Medián pri párnom počte hodnôt

Pri párnom počte sú v strede dve hodnoty. Medián je ich priemer.

Pri 8 hodnotách sú v strede 4. a 5. hodnota. Medián je ich priemer.

Body z testu: medián $= (18 + 20) : 2 =$ 19 bodov. Medián nemusí byť jednou z hodnôt súboru — rovnako ako priemer.

Častá chyba: vziať prostredné číslo z nezoradeného zoznamu. Zo zoznamu 120, 85, 210, 150, 95, 4 800, 130 by vyšlo 150 — zle. Vždy najprv zoraď.

Medián z tabuľky početností

Anketa o spánku z predchádzajúcej lekcie (40 deviatakov):

počet hodín spánku	6 h	7 h	8 h	9 h	spolu
počet žiakov	6	14	16	4	40

Medián: $n = 40$ je párne, v strede je 20. a 21. hodnota. Počítaj postupne: hodnoty 6 h sú na miestach 1 až 6, hodnoty 7 h na miestach 7 až 20, hodnoty 8 h na miestach 21 až 36. 20. hodnota = 7 h, 21. hodnota = 8 h → medián $= (7 + 8) : 2 =$ 7,5 h

Priemer: $\frac{6 \cdot 6 + 7 \cdot 14 + 8 \cdot 16 + 9 \cdot 4}{40} = \frac{36 + 98 + 128 + 36}{40} = \frac{298}{40} =$ 7,45 h

Modus: 8 h (16 žiakov — najviac)

Priemer, alebo medián?

situácia	čo použiť	prečo
hodnoty bez extrémov (známky, výška žiakov)	priemer	počíta so všetkými hodnotami
jedna či dve extrémne hodnoty (sledovatelia, zárobky)	medián	extrém ho takmer neposunie
slovný znak (žáner, farba)	modus	priemer ani medián sa z neho nedá vypočítať
chceš dopočítať súčet (body za 5 testov)	priemer	súčet = priemer · počet

Úloha ako z Testovania 9: Po štyroch testoch máš priemer 14 bodov z 20. Koľko bodov potrebuješ v piatom teste, aby bol priemer 15?

Súčet doteraz: $4 \cdot 14 = 56$ . Potrebný súčet: $5 \cdot 15 = 75$ .

V piatom teste: $75 - 56 =$ 19 bodov (z 20 sa to dá).

Za víkend zarobilo šesť kamarátov na brigáde: 40, 35, 50, 45, 40 a 160 €. a) Urči priemer, medián a modus. b) Ktoré číslo najlepšie opisuje, koľko typicky zarobili?

Ukáž riešenie

a) Priemer: $370 : 6 \approx$ 61,67 €. Zoradené: 35, 40, 40, 45, 50, 160 → medián $(40 + 45) : 2 =$ 42,50 €. Modus: 40 €. b) Medián (alebo aj modus) — päť zo šiestich zarobilo 35 až 50 €. Priemer 61,67 € skresľuje jeden zárobok 160 €.

Zapamätaj si

Priemer = súčet : počet hodnôt; súčet = priemer · počet.
Modus = najčastejšia hodnota; jediný sa hodí aj na slovný znak.
Medián = prostredná hodnota zoradeného súboru; pri párnom počte priemer dvoch prostredných.
Z tabuľky: medián nájdeš postupným rátaním miest; pri priemere vynásob každú hodnotu jej početnosťou, sčítaj a vydeľ $n$ .
Extrémna hodnota posunie priemer, medián takmer nie.