Aritmetický priemer a modus

„Koľko času trávim na mobile?“ Sedem čísel za týždeň je veľa. Rodičom aj sebe chceš povedať jedno číslo. Na to slúži priemer. A keď ťa zaujíma, čo sa stáva najčastejšie, hľadáš modus.

Aritmetický priemer

\text{priemer} = \frac{\text{súčet všetkých hodnôt}}{\text{počet hodnôt}}

Čas na mobile za týždeň (min): 120, 105, 90, 130, 150, 210, 175.

Súčet: $120 + 105 + 90 + 130 + 150 + 210 + 175 = 980$

Priemer: $980 : 7 =$ 140 min za deň, teda 2 h 20 min.

Body v teste troch kamarátov: 18, 25, 23. Priemer: $(18 + 25 + 23) : 3 = 66 : 3 =$ 22 bodov.

Priemer nemusí byť jednou z hodnôt súboru a nemusí byť celé číslo. Priemerne 1,5 gólu na zápas je v poriadku, aj keď pol gólu nikto nedal.

Modus

Modus je hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie.

Góly útočníka v 10 zápasoch: 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 1, 0, 2. Zelené nuly sú modus, oranžová čiara je priemer 1 gól.

Súčet gólov: $0 + 1 + 0 + 2 + 1 + 0 + 3 + 1 + 0 + 2 = 10$ , priemer $10 : 10 =$ 1 gól na zápas.
Nula sa vyskytuje 4-krát, jednotka 3-krát, dvojka 2-krát, trojka raz. Modus je 0 — najčastejšie nedal gól.

Modus sa hodí aj pri znakoch, ktoré nie sú čísla: v ankete o obľúbenej hre je modus „futbalová hra“ (8 hlasov). Priemer z hier spočítať nejde.

Súbor môže mať aj viac modusov (napr. 2, 2, 5, 5, 7 má modusy 2 a 5). Ak sa každá hodnota vyskytne len raz, modus nám nič užitočné nepovie.

Priemer z tabuľky početností

Známky z písomky (20 žiakov): jednotka 5-krát, dvojka 8-krát, trojka 4-krát, štvorka 2-krát, päťka raz. Nemusíš sčítať 20 čísel — vynásob každú známku jej početnosťou:

\frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1}{20} = \frac{5 + 16 + 12 + 8 + 5}{20} = \frac{46}{20} = 2{,}3

Priemerná známka je 2,3, modus je 2 (má ju najviac žiakov — 8).

Častá chyba: sčítať známky $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ a deliť piatimi → 3. To by platilo, len keby mal každú známku rovnaký počet žiakov. Deliť sa musí počtom žiakov (20), nie počtom rôznych známok.

Keď priemer klame

Päť videí na tvojom profile má zobrazenia: 300, 250, 400, 350 a jedno sa rozbehlo na 18 700.

Priemer: $(300 + 250 + 400 + 350 + 18\,700) : 5 = 20\,000 : 5 =$ 4 000 zobrazení.

Lenže štyri z piatich videí majú najviac 400 zobrazení! Jedna extrémne veľká hodnota potiahne priemer hore. Preto si pri priemere vždy pozri aj samotné údaje.

Koľko potrebujem? Po 4 testoch máš priemer 80 bodov. Koľko bodov potrebuješ v 5. teste, aby bol priemer 82?

Súčet doteraz: $4 \cdot 80 = 320$ . Súčet potrebný po 5 testoch: $5 \cdot 82 = 410$ .

V 5. teste: $410 - 320 =$ 90 bodov.

a) Ranné teploty počas piatich dní: −3, −1, 2, 0, −3 °C. Urči priemer a modus. b) Za tri víkendy si pomáhal susedovi v záhrade a zarobil si 30 €, 42 € a 36 €. Koľko je to priemerne za víkend?

Ukáž riešenie

a) Súčet: $(-3) + (-1) + 2 + 0 + (-3) = -5$ , priemer $-5 : 5 =$ −1 °C. Modus: −3 °C (vyskytuje sa dvakrát). b) $(30 + 42 + 36) : 3 = 108 : 3 =$ 36 €.

Zapamätaj si

Aritmetický priemer = súčet hodnôt : počet hodnôt.
Z tabuľky: každú hodnotu vynásob početnosťou, sčítaj a vydeľ rozsahom súboru.
Modus = najčastejšia hodnota; funguje aj pri nečíselných údajoch.
Jedna extrémna hodnota vie priemer výrazne posunúť — pozri sa aj na údaje.

Aritmetický priemer a modus